(6)函数 =xcos x 在 (-infty ,+infty ) 内是否有界?这个函数是否为 arrow +infty 时的无穷大?为什-|||-么-|||-(7)函数 =dfrac (1)(x)sin dfrac (1)(x) 在区间(0,1]内是否有界?这个函数是否为 arrow (0)^+ 时的无穷大?为什

（6）函数 $y=x\cos x$ 的有界性和无穷大性分析：

• 考查要点：函数有界性的判断、无穷大的定义。
• 解题核心：分析 $x\cos x$ 随 $x$ 增大时的振荡特性，结合有界性定义（是否存在固定范围限制）和无穷大定义（是否无限增大）。
• 关键点：$\cos x$ 在 $[-1,1]$ 间周期振荡，导致 $x\cos x$ 的振幅随 $x$ 增大而无限扩大，但符号交替变化。

（7）函数 $y=\dfrac{1}{x}\sin \dfrac{1}{x}$ 的有界性和无穷大性分析：

• 考查要点：函数在区间内的有界性、极限振荡发散的判断。
• 解题核心：分析 $\sin \dfrac{1}{x}$ 在 $x \to 0^+$ 时的高频振荡，结合 $\dfrac{1}{x}$ 的发散趋势。
• 关键点：$\dfrac{1}{x}$ 使振幅无限扩大，但 $\sin \dfrac{1}{x}$ 的符号交替导致极限不存在。

第（6）题

判断有界性

当 $x = 2k\pi$（$k$ 为整数）时，$\cos x = 1$，此时 $y = x \cdot 1 = x$。随着 $x \to +\infty$，$y$ 可以任意大，因此函数在 $(-\infty, +\infty)$ 内无界。

判断是否为无穷大

虽然 $|y| = |x\cos x|$ 的最大值随 $x$ 增大而无限扩大，但 $\cos x$ 的符号周期性变化，导致 $y$ 在正负之间无限振荡。根据无穷大定义（必须单向无限趋近于正无穷或负无穷），$y = x\cos x$ 不是 $x \to +\infty$ 时的无穷大。

第（7）题

判断有界性

当 $x \to 0^+$ 时，$\dfrac{1}{x} \to +\infty$，而 $\sin \dfrac{1}{x}$ 在 $[-1,1]$ 间振荡。此时 $y = \dfrac{\sin \dfrac{1}{x}}{x}$ 的绝对值为 $\dfrac{|\sin \dfrac{1}{x}|}{x} \leq \dfrac{1}{x}$，但 $\dfrac{1}{x}$ 无界，因此函数在 $(0,1]$ 内无界。

判断是否为无穷大

虽然当 $\sin \dfrac{1}{x} = 1$ 时 $y = \dfrac{1}{x} \to +\infty$，但 $\sin \dfrac{1}{x}$ 的符号交替且存在 $x$ 使得 $y = 0$（如 $x = \dfrac{1}{k\pi}$）。因此极限不存在，$y$ 不是 $x \to 0^+$ 时的无穷大。