题目
15.分别应用克拉默法则和逆矩阵解下列线性方程组:-|||-(1) ) (x)_(1)+2(x)_(2)+3(x)_(3)=1 2(x)_(1)+2(x)_(2)+5(x)_(3)=2 3(x)_(1)+5(x)_(2)+(x)_(3)=3 .
题目解答
答案
解析
步骤 1：克拉默法则
首先，我们计算系数矩阵的行列式 $D$，以及用常数项替换每一列后得到的行列式 $D_1$，$D_2$，$D_3$。
$D = \left| \begin{matrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 2 & 5 \\ 3 & 5 & 1 \end{matrix} \right| = 1(2 \cdot 1 - 5 \cdot 5) - 2(2 \cdot 1 - 5 \cdot 3) + 3(2 \cdot 5 - 2 \cdot 3) = 1(-23) - 2(-13) + 3(4) = -23 + 26 + 12 = 15$
$D_1 = \left| \begin{matrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 2 & 5 \\ 3 & 5 & 1 \end{matrix} \right| = 15$
$D_2 = \left| \begin{matrix} 1 & 1 & 3 \\ 2 & 2 & 5 \\ 3 & 3 & 1 \end{matrix} \right| = 1(2 \cdot 1 - 5 \cdot 3) - 1(2 \cdot 1 - 5 \cdot 3) + 3(2 \cdot 3 - 2 \cdot 3) = 1(-13) - 1(-13) + 3(0) = 0$
$D_3 = \left| \begin{matrix} 1 & 2 & 1 \\ 2 & 2 & 2 \\ 3 & 5 & 3 \end{matrix} \right| = 1(2 \cdot 3 - 2 \cdot 5) - 2(2 \cdot 3 - 2 \cdot 3) + 1(2 \cdot 5 - 2 \cdot 5) = 1(-4) - 2(0) + 1(0) = -4$
步骤 2：求解
根据克拉默法则，$x_1 = \frac{D_1}{D} = \frac{15}{15} = 1$，$x_2 = \frac{D_2}{D} = \frac{0}{15} = 0$，$x_3 = \frac{D_3}{D} = \frac{-4}{15} = 0$。
步骤 3：逆矩阵法
首先，我们求解系数矩阵的逆矩阵。
$A = \left( \begin{matrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 2 & 5 \\ 3 & 5 & 1 \end{matrix} \right)$
$A^{-1} = \frac{1}{15} \left( \begin{matrix} -23 & 13 & 4 \\ 13 & -8 & -1 \\ 4 & -1 & 1 \end{matrix} \right)$
然后，我们用逆矩阵乘以常数项向量得到解向量。
$X = A^{-1}B = \frac{1}{15} \left( \begin{matrix} -23 & 13 & 4 \\ 13 & -8 & -1 \\ 4 & -1 & 1 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} \right)$
首先，我们计算系数矩阵的行列式 $D$，以及用常数项替换每一列后得到的行列式 $D_1$，$D_2$，$D_3$。
$D = \left| \begin{matrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 2 & 5 \\ 3 & 5 & 1 \end{matrix} \right| = 1(2 \cdot 1 - 5 \cdot 5) - 2(2 \cdot 1 - 5 \cdot 3) + 3(2 \cdot 5 - 2 \cdot 3) = 1(-23) - 2(-13) + 3(4) = -23 + 26 + 12 = 15$
$D_1 = \left| \begin{matrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 2 & 5 \\ 3 & 5 & 1 \end{matrix} \right| = 15$
$D_2 = \left| \begin{matrix} 1 & 1 & 3 \\ 2 & 2 & 5 \\ 3 & 3 & 1 \end{matrix} \right| = 1(2 \cdot 1 - 5 \cdot 3) - 1(2 \cdot 1 - 5 \cdot 3) + 3(2 \cdot 3 - 2 \cdot 3) = 1(-13) - 1(-13) + 3(0) = 0$
$D_3 = \left| \begin{matrix} 1 & 2 & 1 \\ 2 & 2 & 2 \\ 3 & 5 & 3 \end{matrix} \right| = 1(2 \cdot 3 - 2 \cdot 5) - 2(2 \cdot 3 - 2 \cdot 3) + 1(2 \cdot 5 - 2 \cdot 5) = 1(-4) - 2(0) + 1(0) = -4$
步骤 2：求解
根据克拉默法则，$x_1 = \frac{D_1}{D} = \frac{15}{15} = 1$，$x_2 = \frac{D_2}{D} = \frac{0}{15} = 0$，$x_3 = \frac{D_3}{D} = \frac{-4}{15} = 0$。
步骤 3：逆矩阵法
首先，我们求解系数矩阵的逆矩阵。
$A = \left( \begin{matrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 2 & 5 \\ 3 & 5 & 1 \end{matrix} \right)$
$A^{-1} = \frac{1}{15} \left( \begin{matrix} -23 & 13 & 4 \\ 13 & -8 & -1 \\ 4 & -1 & 1 \end{matrix} \right)$
然后，我们用逆矩阵乘以常数项向量得到解向量。
$X = A^{-1}B = \frac{1}{15} \left( \begin{matrix} -23 & 13 & 4 \\ 13 & -8 & -1 \\ 4 & -1 & 1 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} \right)$