8.设矩阵 A= (} 3& -2& lambda & -16 2& -3& 0& 1 1& -1& 1& -3 3& mu & 1& -2 ) . 其中λ,μ为参数.求矩阵A的秩的最大值和最小值.

考查要点：本题主要考查矩阵秩的概念及参数对矩阵秩的影响。需要通过行变换分析矩阵的秩随参数$\lambda$和$\mu$变化的情况，找到秩的最大值和最小值。

解题核心思路：

1. 矩阵秩的定义：矩阵中非零子式的最高阶数，即行（列）向量组的最大线性无关个数。
2. 参数影响：通过行变换将矩阵化为阶梯形，分析参数$\lambda$和$\mu$如何导致行之间的线性相关性变化。
3. 关键点：
   • 当$\lambda \neq 5$时，矩阵存在4个非零行，秩为4；
   • 当$\lambda = 5$且$\mu = -4$时，矩阵存在2个非零行，秩为2；
   • 当$\lambda = 5$但$\mu \neq -4$时，矩阵存在3个非零行，秩为3。

行变换分析

1. 初始矩阵：
   $A = \begin{pmatrix} 3 & -2 & \lambda & -16 \\ 2 & -3 & 0 & 1 \\ 1 & -1 & 1 & -3 \\ 3 & \mu & 1 & -2 \end{pmatrix}$

2. 以第三行为主元消去第一列：

   • 第一行变为：$[0, 1, \lambda-3, -7]$
   • 第二行变为：$[0, -1, -2, 7]$
   • 第四行变为：$[0, \mu+3, -2, 7]$
   • 第三行保持：$[1, -1, 1, -3]$

3. 以新第一行消去第二列：

   • 第二行变为：$[0, 0, \lambda-5, 0]$
   • 第四行变为：$[0, 0, -2-(\mu+3)(\lambda-3), 7+7(\mu+3)]$
   • 第三行变为：$[1, 0, \lambda-2, -10]$

4. 整理阶梯形：

   • 第一行：$[1, 0, \lambda-2, -10]$
   • 第二行：$[0, 1, \lambda-3, -7]$
   • 第三行：$[0, 0, \lambda-5, 0]$
   • 第四行：$[0, 0, -2-(\mu+3)(\lambda-3), 7+7(\mu+3)]$

关键参数分析

• 当$\lambda \neq 5$：

  • 第三行非零，第四行无法全为零，因此秩为4。

• 当$\lambda = 5$：

  • 第三行全为零，第四行化简为：$[0, 0, -2\mu-8, 7\mu+28]$。
  • 若$\mu = -4$，第四行全为零，秩为2；
  • 若$\mu \neq -4$，第四行非零，秩为3。