31.设 f(x)= sin dfrac {x)(3) xneq 0 a x=0-|||-D 3

考查要点：本题主要考查函数连续性的概念及极限的计算，特别是利用等价无穷小替换求解函数在分段点处的连续性条件。

解题核心思路：
函数在某点连续的充要条件是函数在该点的极限值等于函数值。对于分段函数$f(x)$，当$x=0$时函数值为$a$，因此需要计算$\lim\limits_{x \to 0} f(x)$，并令其等于$a$，从而确定$a$的值。

破题关键点：

1. 等价无穷小替换：当$x \to 0$时，$\sin \frac{x}{3} \sim \frac{x}{3}$，可简化极限计算。
2. 极限计算：将原式中的$\sin \frac{x}{3}$替换为$\frac{x}{3}$后，极限值可直接求出。

要使$f(x)$在$x=0$处连续，需满足：
$\lim_{x \to 0} f(x) = f(0) = a$

计算极限：
$\lim_{x \to 0} \frac{1}{x} \sin \frac{x}{3}$

应用等价无穷小替换：
当$x \to 0$时，$\sin \frac{x}{3} \sim \frac{x}{3}$，因此：
$\lim_{x \to 0} \frac{1}{x} \cdot \frac{x}{3} = \lim_{x \to 0} \frac{1}{3} = \frac{1}{3}$

确定$a$的值：
根据连续性条件，$\lim\limits_{x \to 0} f(x) = a$，故：
$a = \frac{1}{3}$