设D=(x,y)mid x^2+y^2leq R^2,R>0，常数lambdaneq0，则二重积分iintlimits_(D)(e^lambda rcostheta-e^-lambda rsintheta)rdrdtheta的值（）A. 为零B. 为正C. 为负D. 当lambda>0时为正，当lambda

考查要点：本题主要考查二重积分在极坐标系下的计算，以及利用周期函数对称性和贝塞尔函数性质简化积分的能力。

解题核心思路：

1. 坐标变换：将直角坐标系下的积分转换为极坐标系，简化积分表达式。
2. 对称性分析：利用三角函数在对称区间上的积分性质，结合贝塞尔函数的积分公式，分别计算两个指数项的积分。
3. 结果抵消：通过分析两个积分项的对称性，发现它们的结果相等，从而整体积分值为零。

破题关键点：

• 极坐标变换：正确写出极坐标下的积分表达式。
• 贝塞尔函数应用：掌握$\int_{0}^{2\pi} e^{a \cos\theta} d\theta = 2\pi I_0(a)$的性质，并理解$\sin\theta$与$\cos\theta$在积分中的对称性等价性。
• 偶函数性质：利用$I_0(-x) = I_0(x)$简化计算。

将积分转换为极坐标系，其中$x = r \cos\theta$，$y = r \sin\theta$，面积元素$dx \, dy = r \, dr \, d\theta$。原积分变为：
$\iint\limits_{D} (e^{\lambda r \cos\theta} - e^{-\lambda r \sin\theta}) r \, dr \, d\theta = \int_{0}^{R} \int_{0}^{2\pi} (e^{\lambda r \cos\theta} - e^{-\lambda r \sin\theta}) r \, d\theta \, dr.$

分步计算内积分：

1. 第一项积分：
   $\int_{0}^{2\pi} e^{\lambda r \cos\theta} \, d\theta = 2\pi I_0(\lambda r),$
   其中$I_0$为零阶修正贝塞尔函数。

2. 第二项积分：
   通过变量替换$\theta' = \theta - \frac{\pi}{2}$，将$\sin\theta$转换为$\cos\theta'$，得：
   $\int_{0}^{2\pi} e^{-\lambda r \sin\theta} \, d\theta = \int_{0}^{2\pi} e^{-\lambda r \cos\theta'} \, d\theta' = 2\pi I_0(\lambda r).$
   （利用$I_0(-x) = I_0(x)$）

内积分结果：
$\int_{0}^{2\pi} \left(e^{\lambda r \cos\theta} - e^{-\lambda r \sin\theta}\right) d\theta = 2\pi I_0(\lambda r) - 2\pi I_0(\lambda r) = 0.$

外积分结果：
$\int_{0}^{R} 0 \cdot r \, dr = 0.$