[题目]-|||-计算下列定积分.-|||-(int )_(0)^dfrac (pi {2)}|sin x-cos x|dx ;

步骤 1：确定积分区间
由于 $|\sin x - \cos x|$ 在 $[0, \frac{\pi}{2}]$ 上的正负性可能发生变化，我们需要找到 $\sin x - \cos x = 0$ 的解，以确定积分区间。解方程 $\sin x - \cos x = 0$，得到 $\sin x = \cos x$，即 $\tan x = 1$，在 $[0, \frac{\pi}{2}]$ 上，解为 $x = \frac{\pi}{4}$。因此，积分区间可以分为 $[0, \frac{\pi}{4}]$ 和 $[\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2}]$。

步骤 2：计算两个子区间的积分
在 $[0, \frac{\pi}{4}]$ 上，$\sin x - \cos x \leq 0$，因此 $|\sin x - \cos x| = \cos x - \sin x$。在 $[\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2}]$ 上，$\sin x - \cos x \geq 0$，因此 $|\sin x - \cos x| = \sin x - \cos x$。因此，原积分可以写为：
$$
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} |\sin x - \cos x| dx = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} (\cos x - \sin x) dx + \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} (\sin x - \cos x) dx
$$

步骤 3：计算积分
计算第一个积分：
$$
\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} (\cos x - \sin x) dx = [\sin x + \cos x]_{0}^{\frac{\pi}{4}} = (\sin \frac{\pi}{4} + \cos \frac{\pi}{4}) - (\sin 0 + \cos 0) = \sqrt{2} - 1
$$
计算第二个积分：
$$
\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} (\sin x - \cos x) dx = [-\cos x - \sin x]_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} = (-\cos \frac{\pi}{2} - \sin \frac{\pi}{2}) - (-\cos \frac{\pi}{4} - \sin \frac{\pi}{4}) = 1 - \sqrt{2}
$$
将两个积分结果相加：
$$
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} |\sin x - \cos x| dx = (\sqrt{2} - 1) + (1 - \sqrt{2}) = 2\sqrt{2} - 2
$$