求球面x^2+y^2+z^2=14在点(1,2,3)处的切平面及法线方程

步骤 1：定义函数
定义函数 $F(x,y,z) = x^2 + y^2 + z^2 - 14$，该函数表示球面的方程。
步骤 2：计算偏导数
计算函数 $F(x,y,z)$ 对 $x$、$y$、$z$ 的偏导数，得到：
$${F}_{x}(x,y,z) = 2x$$
$${F}_{y}(x,y,z) = 2y$$
$${F}_{z}(x,y,z) = 2z$$
步骤 3：计算偏导数在点 $(1,2,3)$ 处的值
将点 $(1,2,3)$ 代入偏导数中，得到：
$${F}_{x}(1,2,3) = 2$$
$${F}_{y}(1,2,3) = 4$$
$${F}_{z}(1,2,3) = 6$$
步骤 4：确定切平面的法向量
由步骤 3 可知，点 $(1,2,3)$ 处的法向量为 $n = (2,4,6)$。
步骤 5：计算切平面方程
根据法向量 $n = (2,4,6)$ 和点 $(1,2,3)$，可以得到切平面方程为：
$$2(x-1) + 4(y-2) + 6(z-3) = 0$$
化简得到：
$$x + 2y + 3z - 14 = 0$$
步骤 6：计算法线方程
根据法向量 $n = (2,4,6)$ 和点 $(1,2,3)$，可以得到法线方程为：
$$\dfrac{x-1}{1} = \dfrac{y-2}{2} = \dfrac{z-3}{3}$$
化简得到：
$$\dfrac{x}{1} = \dfrac{y}{2} = \dfrac{z}{3}$$