2.设f(x)在x=0处连续，且lim_(x to 0) ([f(x)+1]x^2)/(x-sin x)=6，则曲线y=f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为____.

本题主要考查函数连续性、等价无穷小替换、导数的定义以及曲线切线方程的求解。解题的关键思路是先利用等价无穷小化简已知极限式子，再根据极限存在的条件求出函数在$x = 0$处的函数值$f(0)$，接着通过导数的定义求出$f^\prime(0)$，最后利用点斜式方程求出切线方程。

1. 利用等价无穷小化简极限式子：
   已知当$x \to 0$时，$x - \sin x \sim \frac{x^3}{6}$，将其代入到$\lim_{x \to 0} \frac{[f(x) + 1]x^2}{x - \sin x} = 6$中，可得：
   $\lim_{x \to 0} \frac{[f(x) + 1]x^2}{\frac{x^3}{6}} = 6$
   根据分式运算法则，$\frac{[f(x) + 1]x^2}{\frac{x^3}{6}}=\frac{6[f(x) + 1]x^2}{x^3}=\frac{6[f(x) + 1]}{x}$，则原式变为$\lim_{x \to 0} \frac{6[f(x) + 1]}{x} = 6$。
2. 求解$\lim_{x \to 0} \frac{f(x) + 1}{x}$的值：
   由$\lim_{x \to 0} \frac{6[f(x) + 1]}{x} = 6$，等式两边同时除以$6$，可得$\lim_{x \to 0} \frac{f(x) + 1}{x} = 1$。
3. 根据极限存在条件求出$f(0)$的值：
   因为$\lim_{x \to 0} \frac{f(x) + 1}{x} = 1$，分母$x\to 0$，要使该极限存在且等于$1$，则分子$\lim_{x \to 0} [f(x) + 1]$必须等于$0$（否则极限为无穷大）。
   又因为$f(x)$在$x = 0$处连续，所以$\lim_{x \to 0} f(x) = f(0)$，则$\lim_{x \to 0} [f(x) + 1]=f(0)+1 = 0$，解得$f(0) = -1$。
4. 根据导数的定义求出$f^\prime(0)$的值：
   根据导数的定义，函数$f(x)$在$x = 0$处的导数$f^\prime(0)=\lim_{x \to 0} \frac{f(x) - f(0)}{x}$，将$f(0) = -1$代入可得$f^\prime(0)=\lim_{x \to 0} \frac{f(x) - (-1)}{x}=\lim_{x \to 0} \frac{f(x) + 1}{x}$。
   由前面计算可知$\lim_{x \to 0} \frac{f(x) + 1}{x} = 1$，所以$f^\prime(0) = 1$。
5. 求出曲线$y = f(x)$在点$(0, f(0))$处的切线方程：
   已知切线过点$(0, f(0))=(0, -1)$，斜率$k = f^\prime(0) = 1$。
   根据直线的点斜式方程$y - y_0 = k(x - x_0)$（其中$(x_0, y_0)$为直线上一点，$k$为直线斜率），可得切线方程为$y - (-1) = 1\times(x - 0)$，即$y + 1 = x$，移项可得$y = x - 1$，也可写成$x - y - 1 = 0$。