题目

12.设随机变量X_(i)的分布律为}X_(i) & -1 & 0 & 1P_(k) & (1)/(4) & (1)/(2) & (1)/(4)=_____.

12.设随机变量$X_{i}$的分布律为 $\begin{bmatrix}X_{i} & -1 & 0 & 1\\P_{k} & \frac{1}{4} & \frac{1}{2} & \frac{1}{4}\end{bmatrix}$（i=1,2），且满足$P\{X_{1}X_{2}=0\}=1$，则$P\{X_{1}=X_{2}\}=$_____.

题目解答

答案

由题意，$X_1$和$X_2$的分布律均为：
$\begin{array}{ccc}X_i & -1 & 0 & 1 \\\hlineP & \frac{1}{4} & \frac{1}{2} & \frac{1}{4}\end{array}$
且满足 $P\{X_1X_2 = 0\} = 1$，即 $P\{X_1X_2 \neq 0\} = 0$。这意味着 $X_1$ 和 $X_2$ 不能同时取非零值，即 $P\{X_1 = -1, X_2 = -1\} = P\{X_1 = -1, X_2 = 1\} = P\{X_1 = 1, X_2 = -1\} = P\{X_1 = 1, X_2 = 1\} = 0$。

根据联合分布与边缘分布的关系，可得 $X_1$ 和 $X_2$ 的联合分布表：
$\begin{array}{c|ccc}& X_2 = -1 & X_2 = 0 & X_2 = 1 \\\hlineX_1 = -1 & 0 & \frac{1}{4} & 0 \\X_1 = 0 & \frac{1}{4} & \frac{1}{2} & \frac{1}{4} \\X_1 = 1 & 0 & \frac{1}{4} & 0 \\\end{array}$
其中，$P\{X_1 = -1, X_2 = 0\} = \frac{1}{4}$，$P\{X_1 = 0, X_2 = -1\} = \frac{1}{4}$，$P\{X_1 = 0, X_2 = 0\} = \frac{1}{2}$，$P\{X_1 = 0, X_2 = 1\} = \frac{1}{4}$，$P\{X_1 = 1, X_2 = 0\} = \frac{1}{4}$。

计算 $P\{X_1 = X_2\}$：
$P\{X_1 = X_2\} = P\{X_1 = -1, X_2 = -1\} + P\{X_1 = 0, X_2 = 0\} + P\{X_1 = 1, X_2 = 1\} = 0 + \frac{1}{2} + 0 = \frac{1}{2}.$

答案： $\frac{1}{2}$。

解析

本题考查二维离散型随机变量的联合分布律以及概率的计算。解题的关键在于根据已知条件$P\{X_{1}X_{2}=0\}=1$确定$X_1$和$X_2$的联合分布律，然后利用联合分布律计算$P\{X_{1}=X_{2}\}$。

  1. 分析$P\{X_{1}X_{2}=0\}=1$的含义：
    已知$P\{X_{1}X_{2}=0\}=1$，根据概率的基本性质，$P\{X_{1}X_{2}\neq0\}=1 - P\{X_{1}X_{2}=0\}=1 - 1 = 0$。
    $X_1$和$X_2$的取值都为$-1$，$0$，$1$，$X_1X_2\neq0$意味着$X_1$和$X_2$都不能取$0$，即$P\{X_1 = -1, X_2 = -1\} = P\{X_1 = -1, X_2 = 1\} = P\{X_1 = 1, X_2 = -1\} = P\{X_1 = 1, X_2 = 1\} = 0$。
  2. 确定$X_1$和$X_2$的联合分布律：
    已知$X_1$和$X_2$的边缘分布律为$\begin{bmatrix}X_{i} & -1 & 0 & 1\\P_{k} & \frac{1}{4} & \frac{1}{2} & \frac{1}{4}\end{bmatrix}$（$i = 1,2$）。
    根据边缘分布律与联合分布律的关系，对于$P\{X_1 = -1\}$，有$P\{X_1 = -1\}=P\{X_1 = -1, X_2 = -1\}+P\{X_1 = -1, X_2 = 0\}+P\{X_1 = -1, X_2 = 1\}$，因为$P\{X_1 = -1, X_2 = -1\} = P\{X_1 = -1, X_2 = 1\} = 0$，且$P\{X_1 = -1\}=\frac{1}{4}$，所以$P\{X_1 = -1, X_2 = 0\}=\frac{1}{4}$。
    同理可得$P\{X_1 = 0, X_2 = -1\} = \frac{1}{4}$，$P\{X_1 = 0, X_2 = 0\} = \frac{1}{2}$，$P\{X_1 = 0, X_2 = 1\} = \frac{1}{4}$，$P\{X_1 = 1, X_2 = 0\} = \frac{1}{4}$。
    则$X_1$和$X_2$的联合分布表为：
    $\begin{array}{c|ccc}& X_2 = -1 & X_2 = 0 & X_2 = 1 \\\hlineX_1 = -1 & 0 & \frac{1}{4} & 0 \\X_1 = 0 & \frac{1}{4} & \frac{1}{2} & \frac{1}{4} \\X_1 = 1 & 0 & \frac{1}{4} & 0 \\\end{array}$
  3. 计算$P\{X_{1}=X_{2}\}$：
    $P\{X_{1}=X_{2}\}$表示$X_1$和$X_2$取值相同的概率，即$P\{X_{1}=X_{2}\}=P\{X_1 = -1, X_2 = -1\} + P\{X_1 = 0, X_2 = 0\} + P\{X_1 = 1, X_2 = 1\}$。
    将联合分布表中的值代入可得：$P\{X_{1}=X_{2}\}=0 + \frac{1}{2} + 0=\frac{1}{2}$。