判定函数(z)=dfrac ({x)^2}(2)+xyi在何处可导在何处解析

步骤 1：定义函数的实部和虚部
给定函数$f(z)=\dfrac {{x}^{2}}{2}+xyi$，其中$z=x+yi$，$x$和$y$是实数。我们可以将$f(z)$分解为实部$u(x,y)$和虚部$v(x,y)$，即$f(z)=u(x,y)+v(x,y)i$。根据题目，我们有$u(x,y)=\dfrac {{x}^{2}}{2}$和$v(x,y)=xy$。

步骤 2：计算偏导数
为了判断函数$f(z)$在何处可导，我们需要计算$u(x,y)$和$v(x,y)$的偏导数。根据定义，我们有：
- $u_x'=\dfrac{\partial u}{\partial x}=\dfrac{\partial}{\partial x}\left(\dfrac{x^2}{2}\right)=x$
- $u_y'=\dfrac{\partial u}{\partial y}=\dfrac{\partial}{\partial y}\left(\dfrac{x^2}{2}\right)=0$
- $v_x'=\dfrac{\partial v}{\partial x}=\dfrac{\partial}{\partial x}(xy)=y$
- $v_y'=\dfrac{\partial v}{\partial y}=\dfrac{\partial}{\partial y}(xy)=x$

步骤 3：应用柯西-黎曼方程
根据柯西-黎曼方程，函数$f(z)$在某点可导的必要条件是$u_x'=v_y'$和$u_y'=-v_x'$。将上述偏导数代入柯西-黎曼方程，我们得到：
- $x=x$
- $0=-y$

从上述方程中，我们可以看出，只有当$y=0$时，柯西-黎曼方程才成立。因此，函数$f(z)$在$y=0$处可导。

步骤 4：判断函数是否解析
函数$f(z)$在复平面上解析的条件是它在复平面上的每一点都可导。由于我们已经证明$f(z)$只在$y=0$处可导，因此$f(z)$在复平面上处处不解析。