3.int dfrac (dx)(sqrt {{({x)^2+1)}^3}}=

考查要点：本题主要考查三角替换法在积分中的应用，特别是处理形如$\sqrt{1+x^2}$的积分表达式。
解题核心思路：当积分中出现$\sqrt{1+x^2}$时，通过令$x = \tan t$，利用三角恒等式$1 + \tan^2 t = \sec^2 t$，将根号内的表达式简化为$\sec t$，从而将原积分转化为关于$t$的更易处理的形式。
破题关键点：识别积分结构特征，选择恰当的三角替换变量，并正确进行变量替换和积分转换。

步骤1：变量替换

令$x = \tan t$，则$dx = \sec^2 t \, dt$。此时，原积分中的$\sqrt{1+x^2}$可化简为：
$\sqrt{1 + x^2} = \sqrt{1 + \tan^2 t} = \sqrt{\sec^2 t} = \sec t.$

步骤2：代入原积分

将$x$和$dx$代入原积分$\int \sqrt{1+x^2} \, dx$，得到：
$\int \sec t \cdot \sec^2 t \, dt = \int \sec^3 t \, dt.$

步骤3：积分计算

计算$\int \sec^3 t \, dt$，可通过分部积分法或利用已知公式得到结果：
$\int \sec^3 t \, dt = \frac{1}{2} \sec t \tan t + \frac{1}{2} \ln |\sec t + \tan t| + C.$

步骤4：回代变量

将$t$用$x$表示：

• $\sec t = \sqrt{1 + x^2}$，
• $\tan t = x$，
  代入后得到最终结果。