当x→0时，下列无穷小量与x不等价的是（ ）A. x-x2B. ex-2x3-1C. (ln（1+x^2）)/(x)D. sin（x+sinx）

考查要点：本题主要考查无穷小量的等价性判断，需要掌握常见函数的泰勒展开式，并能通过展开式比较不同无穷小量的阶数。

解题核心思路：
当$x \to 0$时，两个无穷小量$\alpha(x)$和$\beta(x)$等价的充要条件是$\lim\limits_{x \to 0} \frac{\alpha(x)}{\beta(x)} = 1$。因此，需将每个选项展开为泰勒多项式，保留到足够阶数，判断其主部是否与$x$的主部相同。

破题关键点：

• 泰勒展开：对每个选项中的函数进行泰勒展开，保留到$x$的最低次项。
• 主部比较：若展开后的主部为$kx$（$k \neq 0$），则与$x$等价；若主部为更高阶项或系数不为1，则不等价。

选项分析

A. $x - x^2$

展开：$x - x^2 = x(1 - x)$。
当$x \to 0$时，$x^2$是比$x$高阶的无穷小，故$x - x^2 \approx x$，主部为$x$，与$x$等价。

B. $e^x - 2x^3 - 1$

展开$e^x$：
$e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6} + o(x^3).$
代入得：
$e^x - 1 - 2x^3 = x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6} - 2x^3 + o(x^3) = x + \frac{x^2}{2} - \frac{11x^3}{6} + o(x^3).$
主部为$x$，与$x$等价。

C. $\frac{\ln(1+x^2)}{x}$

展开$\ln(1+x^2)$：
$\ln(1+x^2) = x^2 - \frac{x^4}{2} + o(x^4).$
代入得：
$\frac{\ln(1+x^2)}{x} = \frac{x^2}{x} - \frac{x^4}{2x} + o(x^3) = x - \frac{x^3}{2} + o(x^3).$
主部为$x$，与$x$等价。

D. $\sin(x + \sin x)$

展开$\sin x$：
$\sin x = x - \frac{x^3}{6} + o(x^3).$
代入内部得：
$x + \sin x = x + \left(x - \frac{x^3}{6}\right) + o(x^3) = 2x - \frac{x^3}{6} + o(x^3).$
再展开外层$\sin(u)$（令$u = 2x - \frac{x^3}{6}$）：
$\sin u = u - \frac{u^3}{6} + o(u^3).$
代入$u$并展开：
$\begin{aligned}\sin\left(2x - \frac{x^3}{6}\right) &= \left(2x - \frac{x^3}{6}\right) - \frac{(2x)^3}{6} + o(x^3) \\&= 2x - \frac{x^3}{6} - \frac{8x^3}{6} + o(x^3) \\&= 2x - \frac{9x^3}{6} + o(x^3) \\&= 2x - \frac{3x^3}{2} + o(x^3).\end{aligned}$
主部为$2x$，与$x$的比值为$2$，故不等价。