[题目]讨论函数 (x,y)=((x)^3+(y)^3)/((x)^2+y) 在(0,0)-|||-处的重极限与累次极限

考查要点：本题主要考查二元函数在某点的重极限与累次极限是否存在，以及两者之间的关系。

解题核心思路：

1. 重极限是否存在：需要判断当点$(x,y)$沿任意路径趋近于$(0,0)$时，函数值是否趋于同一极限。若存在不同路径导致不同极限，则重极限不存在。
2. 累次极限是否存在：需分别计算先固定$x$让$y \to 0$，再让$x \to 0$（或反之）的过程，判断结果是否一致。

破题关键点：

• 构造不同路径：通过选择特定路径（如$y = -x$、$y = x^3 - x^2$），验证极限值是否唯一。
• 分步计算累次极限：注意累次极限的顺序对结果的影响。

1. 判断重极限是否存在

路径1：沿$y = -x$趋近
将$y = -x$代入函数：
$f(x, -x) = \frac{x^3 + (-x)^3}{x^2 + (-x)} = \frac{0}{x^2 - x} = 0$
当$x \to \infty$时，极限为：
$\lim_{x \to \infty} 0 = 0$

路径2：沿$y = x^3 - x^2$趋近
将$y = x^3 - x^2$代入函数：
$f(x, x^3 - x^2) = \frac{x^3 + (x^3 - x^2)^3}{x^2 + (x^3 - x^2)} = \frac{x^3 + x^9 - 3x^8 + 3x^7 - x^6}{x^3}$
化简后分子为$x^9 - 3x^8 + 3x^7 - x^6 + x^3$，分母为$x^3$，故：
$\frac{x^9 - 3x^8 + 3x^7 - x^6 + x^3}{x^3} = x^6 - 3x^5 + 3x^4 - x^3 + 1$
当$x \to 0$时，极限为：
$\lim_{x \to 0} (x^6 - 3x^5 + 3x^4 - x^3 + 1) = 1$

结论：沿不同路径趋近于$(0,0)$时，极限值分别为$0$和$1$，故重极限不存在。

2. 计算累次极限

先固定$x$，令$y \to 0$，再令$x \to 0$
$\lim_{y \to 0} f(x, y) = \lim_{y \to 0} \frac{x^3 + y^3}{x^2 + y} = \frac{x^3}{x^2} = x$
再对$x$取极限：
$\lim_{x \to 0} x = 0$

先固定$y$，令$x \to 0$，再令$y \to 0$
$\lim_{x \to 0} f(x, y) = \lim_{x \to 0} \frac{x^3 + y^3}{x^2 + y} = \frac{y^3}{y} = y$
再对$y$取极限：
$\lim_{y \to 0} y = 0$

结论：两种累次极限均为$0$，故累次极限存在且等于$0$。