题目
微分方程 (e^x+y - e^x)dx + (e^x+y + e^y)dy = 0 的通解为A. (e^x + 1)(e^y + 1)= CB. (e^x + 1)(e^y - 1)= CC. (e^x - 1)(e^y - 1)= CD. (e^x - 1)(e^y + 1)= C
微分方程 $(e^{x+y} - e^x)dx + (e^{x+y} + e^y)dy = 0$ 的通解为
A. $(e^x + 1)(e^y + 1)= C$
B. $(e^x + 1)(e^y - 1)= C$
C. $(e^x - 1)(e^y - 1)= C$
D. $(e^x - 1)(e^y + 1)= C$
题目解答
答案
B. $(e^x + 1)(e^y - 1)= C$
解析
步骤 1：分离变量
将原方程改写为： \[ (e^{x+y} - e^x)dx + (e^{x+y} + e^y)dy = 0 \] 除以 $e^x e^y$： \[ \left(1 - e^{-y}\right)dx + \left(1 + e^{-x}\right)dy = 0 \]
步骤 2：积分
分离变量并积分： \[ \int \frac{dx}{1 + e^{-x}} + \int \frac{dy}{1 - e^{-y}} = 0 \]
步骤 3：化简
化简得： \[ \ln(e^x + 1) + \ln(e^y - 1) = \ln C \]
步骤 4：求解通解
解得通解： \[ (e^x + 1)(e^y - 1) = C \]
将原方程改写为： \[ (e^{x+y} - e^x)dx + (e^{x+y} + e^y)dy = 0 \] 除以 $e^x e^y$： \[ \left(1 - e^{-y}\right)dx + \left(1 + e^{-x}\right)dy = 0 \]
步骤 2：积分
分离变量并积分： \[ \int \frac{dx}{1 + e^{-x}} + \int \frac{dy}{1 - e^{-y}} = 0 \]
步骤 3：化简
化简得： \[ \ln(e^x + 1) + \ln(e^y - 1) = \ln C \]
步骤 4：求解通解
解得通解： \[ (e^x + 1)(e^y - 1) = C \]