题目

有 10(mol) 气体（视为理想气体），压力为 1000(kPa)，温度为 300(K)，分别求出等温时下列过程的功 W（1）在空气压力为 100(kPa) 时，膨胀到气体压力也是 100(kPa)；（2）等温可逆膨胀至气体压力为 100(kPa)；（3）先在外压 500(kPa) 下膨胀至气体压力也是 500(kPa)，再等温可逆膨胀至气体压力为 100(kPa)。

有 $10\text{mol}$ 气体（视为理想气体），压力为 $1000\text{kPa}$，温度为 $300\text{K}$，分别求出等温时下列过程的功 $W$

（1）在空气压力为 $100\text{kPa}$ 时，膨胀到气体压力也是 $100\text{kPa}$；

（2）等温可逆膨胀至气体压力为 $100\text{kPa}$；

（3）先在外压 $500\text{kPa}$ 下膨胀至气体压力也是 $500\text{kPa}$，再等温可逆膨胀至气体压力为 $100\text{kPa}$。

题目解答

答案

1. 初始体积 $ V_1 = 0.024942 \, \text{m}^3 $，终态体积 $ V_2 = 0.24942 \, \text{m}^3 $。 恒外压过程： \[ W = -p_{\text{外}} (V_2 - V_1) = -100 \times 10^3 \times 0.224478 = -22.45 \, \text{kJ} \] 2. 等温可逆过程： \[ W = -nRT \ln \frac{p_1}{p_2} = -10 \times 8.314 \times 300 \times \ln 10 = -57.44 \, \text{kJ} \] 3. 分步过程： 第一步：$ W_1 = -500 \times 10^3 \times (0.049884 - 0.024942) = -12.471 \, \text{kJ} $。 第二步：$ W_2 = -10 \times 8.314 \times 300 \times \ln 5 = -40.15 \, \text{kJ} $。 总功：$ W = W_1 + W_2 = -52.62 \, \text{kJ} $。 最终结果： 1. $ W = -22.45 \, \text{kJ} $。 2. $ W = -57.44 \, \text{kJ} $。 3. $ W = -52.62 \, \text{kJ} $。

解析

本题主要考察理想气体在不同过程中的功的计算，涉及到理想气体状态方程 $pV = nRT$ 以及不同过程功的计算公式。解题的关键在于根据不同过程的特点，选择合适的公式进行计算，并且在分步过程中要分别计算每一步的功，最后求和得到总功。

（1）在空气压力为 $100\text{kPa}$ 时，膨胀到气体压力也是 $100\text{kPa}$

  • 步骤一：计算初始体积 $V_1$
    根据理想气体状态方程 $pV = nRT$，已知 $n = 10\text{mol}$，$p_1 = 1000\text{kPa} = 1000\times10^3\text{Pa}$，$T = 300\text{K}$，$R = 8.314\text{J}\cdot\text{mol}^{-1}\cdot\text{K}^{-1}$，可得：
    $V_1 = \frac{nRT}{p_1} = \frac{10\times8.314\times300}{1000\times10^3} = 0.024942\text{m}^3$
  • 步骤二：计算终态体积 $V_2$
    同样根据理想气体状态方程，此时 $p_2 = 100\text{kPa} = 100\times10^3\text{Pa}$，可得：
    $V_2 = \frac{nRT}{p_2} = \frac{10\times8.314\times300}{100\times10^3} = 0.24942\text{m}^3$
  • 步骤三：计算恒外压过程的功 $W$
    恒外压过程的功计算公式为 $W = -p_{\text{外}}(V_2 - V_1)$，其中 $p_{\text{外}} = 100\text{kPa} = 100\times10^3\text{Pa}$，则：
    $W = -100\times10^3\times(0.24942 - 0.024942) = -100\times10^3\times0.224478 = -22.45\text{kJ}$

（2）等温可逆膨胀至气体压力为 $100\text{kPa}$

等温可逆过程的功计算公式为 $W = -nRT\ln\frac{p_1}{p_2}$，将 $n = 10\text{mol}$，$R = 8.314\text{J}\cdot\text{mol}^{-1}\cdot\text{K}^{-1}$，$T = 300\text{K}$，$p_1 = 1000\text{kPa}$，$p_2 = 100\text{kPa}$ 代入可得：
$W = -10\times8.314\times300\times\ln\frac{1000}{100} = -10\times8.314\times300\times\ln10 = -57.44\text{kJ}$

（3）先在外压 $500\text{kPa}$ 下膨胀至气体压力也是 $500\text{kPa}$，再等温可逆膨胀至气体压力为 $100\text{kPa}$

  • 步骤一：计算第一步的功 $W_1$
    • 先计算第一步膨胀后的体积 $V_3$，根据理想气体状态方程，此时 $p_3 = 500\text{kPa} = 500\times10^3\text{Pa}$，可得：
      $V_3 = \frac{nRT}{p_3} = \frac{10\times8.314\times300}{500\times10^3} = 0.049884\text{m}^3$
    • 第一步是恒外压过程，外压 $p_{\text{外}} = 500\text{kPa} = 500\times10^3\text{Pa}$，根据恒外压过程的功计算公式 $W = -p_{\text{外}}(V_3 - V_1)$，可得：
      $W_1 = -500\times10^3\times(0.049884 - 0.024942) = -12.471\text{kJ}$
  • 步骤二：计算第二步的功 $W_2$
    第二步是等温可逆过程，从 $p_3 = 500\text{kPa}$ 膨胀到 $p_2 = 100\text{kPa}$，根据等温可逆过程的功计算公式 $W = -nRT\ln\frac{p_3}{p_2}$，可得：
    $W_2 = -10\times8.314\times300\times\ln\frac{500}{100} = -10\times8.314\times300\times\ln5 = -40.15\text{kJ}$
  • 步骤三：计算总功 $W$
    总功等于两步功之和，即：
    $W = W_1 + W_2 = -12.471 - 40.15 = -52.62\text{kJ}$