题目
已知随机变量 X 的概率密度函数为 f_X(x)，令 Y=-2X，则 Y 的概率密度函数 f_Y(y) 为（）。A. 2f_X(-2y)B. f_X(-(y)/(2))C. -(1)/(2)f_X(-(y)/(2))D. (1)/(2)f_X(-(y)/(2))
已知随机变量 $X$ 的概率密度函数为 $f_X(x)$，令 $Y=-2X$，则 $Y$ 的概率密度函数 $f_Y(y)$ 为（）。
A. $2f_X(-2y)$
B. $f_X\left(-\frac{y}{2}\right)$
C. $-\frac{1}{2}f_X\left(-\frac{y}{2}\right)$
D. $\frac{1}{2}f_X\left(-\frac{y}{2}\right)$
题目解答
答案
D. $\frac{1}{2}f_X\left(-\frac{y}{2}\right)$
解析
步骤 1：变量变换
设 $Y = -2X$，则 $X = -\frac{Y}{2}$。这是变量变换的步骤，将 $Y$ 用 $X$ 表示出来。
步骤 2：概率密度函数的变换
利用变量变换公式，$Y$ 的概率密度函数为： \[ f_Y(y) = f_X\left(-\frac{y}{2}\right) \left| \frac{d}{dy}\left(-\frac{y}{2}\right) \right| \] 这里，$\left| \frac{d}{dy}\left(-\frac{y}{2}\right) \right|$ 是雅可比行列式的绝对值，表示变量变换的缩放因子。
步骤 3：计算雅可比行列式
计算雅可比行列式的绝对值： \[ \left| \frac{d}{dy}\left(-\frac{y}{2}\right) \right| = \left| -\frac{1}{2} \right| = \frac{1}{2} \] 因此，$Y$ 的概率密度函数为： \[ f_Y(y) = f_X\left(-\frac{y}{2}\right) \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2} f_X\left(-\frac{y}{2}\right) \]
设 $Y = -2X$，则 $X = -\frac{Y}{2}$。这是变量变换的步骤，将 $Y$ 用 $X$ 表示出来。
步骤 2：概率密度函数的变换
利用变量变换公式，$Y$ 的概率密度函数为： \[ f_Y(y) = f_X\left(-\frac{y}{2}\right) \left| \frac{d}{dy}\left(-\frac{y}{2}\right) \right| \] 这里，$\left| \frac{d}{dy}\left(-\frac{y}{2}\right) \right|$ 是雅可比行列式的绝对值，表示变量变换的缩放因子。
步骤 3：计算雅可比行列式
计算雅可比行列式的绝对值： \[ \left| \frac{d}{dy}\left(-\frac{y}{2}\right) \right| = \left| -\frac{1}{2} \right| = \frac{1}{2} \] 因此，$Y$ 的概率密度函数为： \[ f_Y(y) = f_X\left(-\frac{y}{2}\right) \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2} f_X\left(-\frac{y}{2}\right) \]