题目
求指导本题解题过程，谢谢您！2.[单选题]单选题-|||-((x)^2+(y)^2)dxdydz= __ 其中Ω由曲面 ^2+(y)^2=2z 和平面 z=2 围成.-|||-bigcirc A. dfrac (4pi )(3)-|||-__-|||-bigcirc B. dfrac (16pi )(3)-|||-__-|||-bigcirc C. dfrac (2pi )(3)-|||-__-|||-bigcirc D.π
求指导本题解题过程，谢谢您！
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定积分区域
由曲面 ${x}^{2}+{y}^{2}=2z$ 和平面 $z=2$ 围成的区域，可以确定 $z$ 的范围为 $0 \leq z \leq 2$。在 $z$ 固定时，$x$ 和 $y$ 的范围由 ${x}^{2}+{y}^{2}=2z$ 确定，即 $x^2 + y^2 \leq 4$。
步骤 2：转换为极坐标
为了方便计算，将直角坐标系下的积分转换为极坐标系下的积分。在极坐标系中，$x = r\cos\varphi$，$y = r\sin\varphi$，$dxdy = rdrd\varphi$。因此，积分区域可以表示为 $0 \leq r \leq \sqrt{2z}$，$0 \leq \varphi \leq 2\pi$。
步骤 3：计算积分
将积分转换为极坐标系下的形式，计算积分：
$$
\iiint_{\Omega} (x^2 + y^2) dxdydz = \int_{0}^{2\pi} d\varphi \int_{0}^{2} dz \int_{0}^{\sqrt{2z}} r^3 dr
$$
计算内层积分：
$$
\int_{0}^{\sqrt{2z}} r^3 dr = \left. \frac{r^4}{4} \right|_{0}^{\sqrt{2z}} = \frac{(\sqrt{2z})^4}{4} = \frac{4z^2}{4} = z^2
$$
计算中层积分：
$$
\int_{0}^{2} z^2 dz = \left. \frac{z^3}{3} \right|_{0}^{2} = \frac{8}{3}
$$
计算外层积分：
$$
\int_{0}^{2\pi} d\varphi \cdot \frac{8}{3} = 2\pi \cdot \frac{8}{3} = \frac{16\pi}{3}
$$
由曲面 ${x}^{2}+{y}^{2}=2z$ 和平面 $z=2$ 围成的区域，可以确定 $z$ 的范围为 $0 \leq z \leq 2$。在 $z$ 固定时，$x$ 和 $y$ 的范围由 ${x}^{2}+{y}^{2}=2z$ 确定，即 $x^2 + y^2 \leq 4$。
步骤 2：转换为极坐标
为了方便计算，将直角坐标系下的积分转换为极坐标系下的积分。在极坐标系中，$x = r\cos\varphi$，$y = r\sin\varphi$，$dxdy = rdrd\varphi$。因此，积分区域可以表示为 $0 \leq r \leq \sqrt{2z}$，$0 \leq \varphi \leq 2\pi$。
步骤 3：计算积分
将积分转换为极坐标系下的形式，计算积分：
$$
\iiint_{\Omega} (x^2 + y^2) dxdydz = \int_{0}^{2\pi} d\varphi \int_{0}^{2} dz \int_{0}^{\sqrt{2z}} r^3 dr
$$
计算内层积分：
$$
\int_{0}^{\sqrt{2z}} r^3 dr = \left. \frac{r^4}{4} \right|_{0}^{\sqrt{2z}} = \frac{(\sqrt{2z})^4}{4} = \frac{4z^2}{4} = z^2
$$
计算中层积分：
$$
\int_{0}^{2} z^2 dz = \left. \frac{z^3}{3} \right|_{0}^{2} = \frac{8}{3}
$$
计算外层积分：
$$
\int_{0}^{2\pi} d\varphi \cdot \frac{8}{3} = 2\pi \cdot \frac{8}{3} = \frac{16\pi}{3}
$$