题目
求微分方程dfrac (dy)(dx)+y=(e)^-x的通解.
求微分方程
的通解.
题目解答
答案
设通解为:
由于只有一个解,设特解为
代入原方程.
特解为
通解为:
解析
步骤 1：识别方程类型
给定的方程$\dfrac {dy}{dx}+y={e}^{-x}$是一个一阶线性非齐次微分方程，其中$P(x)=1$，$Q(x)={e}^{-x}$。
步骤 2：求解齐次方程
首先求解对应的齐次方程$\dfrac {dy}{dx}+y=0$。这是一个可分离变量的方程，分离变量后得到$\dfrac {dy}{y}=-dx$。积分两边得到$\ln|y|=-x+C$，即$y={e}^{-x+C}={e}^{C}{e}^{-x}=C{e}^{-x}$，其中$C$是积分常数。
步骤 3：求解非齐次方程
对于非齐次方程$\dfrac {dy}{dx}+y={e}^{-x}$，我们使用常数变易法。设非齐次方程的特解为$y=C(x){e}^{-x}$，其中$C(x)$是待定函数。将$y=C(x){e}^{-x}$代入原方程，得到$C'(x){e}^{-x}+C(x)(-1){e}^{-x}+C(x){e}^{-x}={e}^{-x}$，简化后得到$C'(x){e}^{-x}={e}^{-x}$，即$C'(x)=1$。积分得到$C(x)=x+C_1$，其中$C_1$是积分常数。
步骤 4：写出通解
将$C(x)=x+C_1$代入$y=C(x){e}^{-x}$，得到$y=(x+C_1){e}^{-x}$。因此，原方程的通解为$y=(x+C){e}^{-x}$，其中$C$是任意常数。
给定的方程$\dfrac {dy}{dx}+y={e}^{-x}$是一个一阶线性非齐次微分方程，其中$P(x)=1$，$Q(x)={e}^{-x}$。
步骤 2：求解齐次方程
首先求解对应的齐次方程$\dfrac {dy}{dx}+y=0$。这是一个可分离变量的方程，分离变量后得到$\dfrac {dy}{y}=-dx$。积分两边得到$\ln|y|=-x+C$，即$y={e}^{-x+C}={e}^{C}{e}^{-x}=C{e}^{-x}$，其中$C$是积分常数。
步骤 3：求解非齐次方程
对于非齐次方程$\dfrac {dy}{dx}+y={e}^{-x}$，我们使用常数变易法。设非齐次方程的特解为$y=C(x){e}^{-x}$，其中$C(x)$是待定函数。将$y=C(x){e}^{-x}$代入原方程，得到$C'(x){e}^{-x}+C(x)(-1){e}^{-x}+C(x){e}^{-x}={e}^{-x}$，简化后得到$C'(x){e}^{-x}={e}^{-x}$，即$C'(x)=1$。积分得到$C(x)=x+C_1$，其中$C_1$是积分常数。
步骤 4：写出通解
将$C(x)=x+C_1$代入$y=C(x){e}^{-x}$，得到$y=(x+C_1){e}^{-x}$。因此，原方程的通解为$y=(x+C){e}^{-x}$，其中$C$是任意常数。