14.计算下列行列式:-|||-1 a1 0 0 0-|||--1 https:/img.zuoyebang.cc/zyb_a1ba310a0e07780ae8da18641bf0a900.jpg-(a)_(1) a2 ... 0 0-|||-0 -1 https:/img.zuoyebang.cc/zyb_a1ba310a0e07780ae8da18641bf0a900.jpg-(a)_(2) ... o o-|||-(5) ;-|||-: : :-|||-0 0 0 ... https:/img.zuoyebang.cc/zyb_a1ba310a0e07780ae8da18641bf0a900.jpg-(a)_(n-1) an-|||-o 0 0 -1 https:/img.zuoyebang.cc/zyb_a1ba310a0e07780ae8da18641bf0a900.jpg-(a)_(n)

考查要点：本题主要考查行列式的计算技巧，特别是对特殊结构行列式的观察与展开方法的应用。

解题核心思路：

1. 观察行列式结构：行列式具有明显的三对角线特征，且非零元素分布规律。
2. 递推展开法：通过按列展开行列式，发现展开后高阶行列式可降阶为低阶形式，最终归纳出恒等于1的规律。
3. 归纳法验证：通过计算低阶行列式（如n=1,2,3）的结果，发现结果恒为1，进而推广到一般情况。

破题关键点：

• 第一列展开：利用第一列中非零元素较少的特点，简化展开过程。
• 递推关系：展开后发现高阶行列式与低阶行列式的关系，最终消去所有变量项，得到恒等于1的结论。

行列式结构分析

给定行列式为n阶矩阵，其结构如下：

• 第1行：$1, a_1, 0, \dots, 0$
• 第2行：$-1, 1-a_1, a_2, 0, \dots, 0$
• 第3行：$0, -1, 1-a_2, a_3, \dots, 0$
• $\vdots$
• 第n行：$0, \dots, -1, 1-a_{n-1}, a_n$

展开法计算

1. 按第一列展开：
   行列式可表示为：
   $D = 1 \cdot M_{11} + (-1)^{2+1} \cdot (-1) \cdot M_{21}$
   其中：

   • $M_{11}$ 是去掉第1行第1列后的$(n-1)$阶行列式。
   • $M_{21}$ 是去掉第2行第1列后的$(n-1)$阶行列式。

2. 递推关系：
   通过递推展开，发现无论n取何值，行列式始终满足：
   $D_n = 1 \cdot D_{n-1} + a_1 \cdot D_{n-2} - a_1 \cdot D_{n-2} = D_{n-1}$
   结合初始条件$D_1 = 1$，可得$D_n = 1$对任意n成立。