(m) _u=0.08m/s-|||-O P x(m)-|||-0.20-|||--0.04右图为一平面简谐波在t=0时刻的波形图,求:(1) 该波的波动方程;(2)P处质点的振动方程。

考查要点：本题主要考查平面简谐波的波动方程及质点振动方程的建立，涉及波形图的解读、波参数的计算以及相位的确定。

解题核心思路：

1. 确定波参数：从波形图中读取振幅$A$和波长$\lambda$，结合波速$u$计算周期$T$。
2. 确定初相位：通过旋转矢量法分析$t=0$时刻原点处质点的振动状态，确定初相位$\phi$。
3. 建立波动方程：代入波参数和初相位，选择合适的形式写出波动方程。
4. 求质点振动方程：将特定点的坐标代入波动方程，化简得到该质点的振动方程。

破题关键点：

• 波形图的解读：振幅$A$为波峰与平衡位置的垂直距离，波长$\lambda$为相邻波峰（或波谷）的水平距离。
• 波的传播方向：结合波速方向确定波动方程中时间项与空间项的符号关系。
• 相位计算：注意代入坐标时的相位叠加关系，避免符号错误。

第（1）题：波动方程

确定波参数

• 振幅$A$：由波形图可知，波峰的最大位移为$0.04\ \text{m}$，故$A=0.04\ \text{m}$。
• 波长$\lambda$：相邻波峰间距为$0.4\ \text{m}$，故$\lambda=0.4\ \text{m}$。
• 周期$T$：由公式$u=\lambda/T$得$T=\lambda/u=0.4/0.08=5\ \text{s}$。

确定初相位$\phi$

• $t=0$时，原点$x=0$处质点的位移为$0$，且速度方向向上（波形向右传播，原点处质点此时正从平衡位置向正方向运动）。
• 旋转矢量法表明，此时相位为$-\pi/2$，即$\phi=-\pi/2$。

建立波动方程

波动方程的一般形式为：
$y = A \cos\left[2\pi\left(\frac{t}{T} - \frac{x}{\lambda}\right) + \phi\right]$
代入$A=0.04\ \text{m}$，$\lambda=0.4\ \text{m}$，$T=5\ \text{s}$，$\phi=-\pi/2$，得：
$y = 0.04 \cos\left[2\pi\left(\frac{t}{5} - \frac{x}{0.4}\right) - \frac{\pi}{2}\right]$

第（2）题：P点的振动方程

代入P点坐标

P点坐标为$x=0.20\ \text{m}$，将其代入波动方程：
$y = 0.04 \cos\left[2\pi\left(\frac{t}{5} - \frac{0.20}{0.4}\right) - \frac{\pi}{2}\right]$

化简相位

计算空间项：
$\frac{0.20}{0.4} = 0.5 \quad \Rightarrow \quad 2\pi \cdot 0.5 = \pi$
因此，相位为：
$2\pi \cdot \frac{t}{5} - \pi - \frac{\pi}{2} = \frac{2\pi t}{5} - \frac{3\pi}{2}$
最终振动方程为：
$y = 0.04 \cos\left(\frac{2\pi t}{5} - \frac{3\pi}{2}\right)$