求函数(x,y)=(e)^2x(x+(y)^2+2y)的极值

步骤 1：求偏导数
首先，我们需要求出函数$f(x,y)={e}^{2x}(x+{y}^{2}+2y)$的偏导数。对于$x$的偏导数，我们有：
$$\frac{\partial f}{\partial x} = 2e^{2x}(x+y^2+2y) + e^{2x} = e^{2x}(2x+2y^2+4y+1)$$
对于$y$的偏导数，我们有：
$$\frac{\partial f}{\partial y} = e^{2x}(2y+2)$$
步骤 2：解方程组
接下来，我们需要解方程组$\frac{\partial f}{\partial x} = 0$和$\frac{\partial f}{\partial y} = 0$，以找到可能的极值点。从$\frac{\partial f}{\partial y} = 0$，我们得到$y = -1$。将$y = -1$代入$\frac{\partial f}{\partial x} = 0$，我们得到$x = \frac{1}{2}$。因此，可能的极值点是$(\frac{1}{2}, -1)$。
步骤 3：求二阶偏导数
为了确定这个点是否是极值点，我们需要计算二阶偏导数。我们有：
$$A = \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} = e^{2x}(4x+4y^2+8y+4)$$
$$B = \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} = e^{2x}(4y+4)$$
$$C = \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} = 2e^{2x}$$
步骤 4：判断极值点
在点$(\frac{1}{2}, -1)$处，我们有$A = 2e$，$B = 0$，$C = 2e$。由于$B^2 - AC = 0^2 - 2e \cdot 2e = -4e^2 < 0$，且$A > 0$，所以函数$f(x,y)$在$(\frac{1}{2}, -1)$处取得极小值。
步骤 5：计算极小值
最后，我们计算极小值$f(\frac{1}{2}, -1) = e^{2 \cdot \frac{1}{2}}(\frac{1}{2} + (-1)^2 + 2 \cdot (-1)) = e(-\frac{1}{2}) = -\frac{e}{2}$。