题目

5/25 单选题(4分) 若lim_(xto0)(sin2x)/(sin bx)=3，则b=（） A. 2/3 B. 3/2 C. 5 D. 6

5/25 单选题(4分) 若$\lim_{x\to0}\frac{\sin2x}{\sin bx}=3$，则b=（）
A. 2/3
B. 3/2
C. 5
D. 6

题目解答

答案

当 $x \to 0$ 时，利用等价无穷小 $\sin ax \sim ax$，原极限可化为： \[ \lim_{x \to 0} \frac{\sin 2x}{\sin bx} = \lim_{x \to 0} \frac{2x}{bx} = \frac{2}{b} \] 由题意知 $\frac{2}{b} = 3$，解得 $b = \frac{2}{3}$。 **答案：** $\boxed{A}$

解析

考查要点：本题主要考查等价无穷小替换的应用，以及利用极限求解参数的能力。

解题核心思路：当$x \to 0$时，$\sin ax \sim ax$（即$\sin ax$与$ax$是等价无穷小）。利用这一性质，将原极限中的分子和分母分别替换为一次项，从而简化极限表达式，建立方程求解$b$的值。

破题关键点：

  1. 识别等价无穷小替换的适用条件（$x \to 0$时）。
  2. 正确替换分子和分母中的正弦函数，将极限转化为关于$b$的代数方程。
  3. 解方程并验证选项。

当$x \to 0$时，根据等价无穷小替换$\sin ax \sim ax$，原极限可化简为：
$\lim_{x \to 0} \frac{\sin 2x}{\sin bx} = \lim_{x \to 0} \frac{2x}{bx} = \frac{2}{b}.$
题目给出该极限值为$3$，因此有方程：
$\frac{2}{b} = 3.$
解得：
$b = \frac{2}{3}.$

验证选项：选项A为$\frac{2}{3}$，符合计算结果。