在区间[0,a]上任意投掷一个质点,以X表示这个质点的坐标.设这个-|||-质点落在[0,a]中任意小区间内的概率与这个小区间的长度成正比例.试求X-|||-的分布函数.

步骤 1：定义分布函数
分布函数 $F(x)$ 定义为 $F(x) = P\{ X \leqslant x \}$，其中 $X$ 是在区间 $[0, a]$ 上任意投掷的质点的坐标。

步骤 2：确定分布函数在不同区间上的值
- 当 $x < 0$ 时，质点不可能落在 $x$ 的左侧，因此 $F(x) = 0$。
- 当 $0 \leqslant x \leqslant a$ 时，质点落在 $[0, x]$ 区间内的概率与 $x$ 成正比，即 $P\{ 0 \leqslant X \leqslant x \} = kx$，其中 $k$ 是比例常数。为了确定 $k$，取 $x = a$，得 $P\{ 0 \leqslant X \leqslant a \} = ka$。因为质点一定落在 $[0, a]$ 区间内，所以 $P\{ 0 \leqslant X \leqslant a \} = 1$，从而 $ka = 1$，解得 $k = \frac{1}{a}$。因此，当 $0 \leqslant x \leqslant a$ 时，$F(x) = \frac{x}{a}$。
- 当 $x \geqslant a$ 时，质点一定落在 $[0, a]$ 区间内，因此 $F(x) = 1$。

步骤 3：写出分布函数的表达式
根据上述分析，分布函数 $F(x)$ 可以表示为分段函数：
$$
F(x) = \begin{cases}
0, & x < 0, \\
\frac{x}{a}, & 0 \leqslant x < a, \\
1, & x \geqslant a.
\end{cases}
$$