2.验证极限lim _(xarrow infty )dfrac (x+sin x)(x)存在，但不能用洛必达法则得出。

考查要点：本题主要考查极限的求解方法，特别是处理含有三角函数与多项式函数的极限问题，以及对洛必达法则适用条件的理解。

解题核心思路：

1. 直接化简法：通过分子分母同除以最高次项（此处为$x$），将原式拆分为易处理的部分，结合极限的四则运算法则求解。
2. 洛必达法则失效分析：虽然原式满足洛必达法则的形式条件，但求导后得到的极限不存在，说明洛必达法则在此类问题中可能失效，需谨慎使用。

破题关键点：

• 分离主部：分子中的$x$是主导项，$\sin x$相对于$x$是“小量”。
• 夹逼定理：通过$\left|\dfrac{\sin x}{x}\right| \leq \dfrac{1}{x}$证明$\dfrac{\sin x}{x} \to 0$。
• 洛必达法则的局限性：导数后的极限是否存在直接影响原极限的求解结果。

步骤1：化简原式

将分子分母同除以$x$，得：
$\lim_{x \to \infty} \dfrac{x + \sin x}{x} = \lim_{x \to \infty} \left(1 + \dfrac{\sin x}{x}\right)$

步骤2：求$\dfrac{\sin x}{x}$的极限

利用夹逼定理：
因为$-1 \leq \sin x \leq 1$，所以：
$-\dfrac{1}{x} \leq \dfrac{\sin x}{x} \leq \dfrac{1}{x}$
当$x \to \infty$时，$\dfrac{1}{x} \to 0$，因此：
$\lim_{x \to \infty} \dfrac{\sin x}{x} = 0$

步骤3：求原式极限

根据极限的加法法则：
$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \dfrac{\sin x}{x}\right) = 1 + 0 = 1$

步骤4：分析洛必达法则的失效

若错误地应用洛必达法则：
$\lim_{x \to \infty} \dfrac{x + \sin x}{x} = \lim_{x \to \infty} \dfrac{1 + \cos x}{1}$
此时$\cos x$在$[-1, 1]$之间无限振荡，导致$\lim_{x \to \infty} (1 + \cos x)$不存在。
关键结论：原极限存在，但洛必达法则导出的极限不存在，说明该法则在此处失效。