利用 arctan x 的麦克劳林展开式计算 I = int_(0)^1 (arctan x)/(x) dx 时，取前三项的和为（） A. (209)/(225)B. (191)/(225)C. (241)/(225)D. (8)/(9)

为了利用arctan $ x $的麦克劳林展开式计算$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\arctan x}{x} \, dx$，我们首先回顾arctan $ x $的麦克劳林级数： \[ \arctan x = x - \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} - \frac{x^7}{7} + \cdots \] 我们将这个级数的前三个非零项代入积分中： \[ \arctan x \approx x - \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} \] 现在，我们将这个近似值代入积分： \[ \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\arctan x}{x} \, dx \approx \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{x - \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5}}{x} \, dx \] 我们可以简化被积函数，通过将分子中的每一项除以 $ x $： \[ \frac{x - \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5}}{x} = 1 - \frac{x^2}{3} + \frac{x^4}{5} \] 现在，我们逐项积分： \[ \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \left(1 - \frac{x^2}{3} + \frac{x^4}{5}\right) \, dx \] 这可以分解为三个独立的积分： \[ \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} 1 \, dx - \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{x^2}{3} \, dx + \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{x^4}{5} \, dx \] 我们分别计算每个积分： 1. $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} 1 \, dx = \left[ x \right]_{0}^{\frac{\pi}{2}} = \frac{\pi}{2}$ 2. $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{x^2}{3} \, dx = \frac{1}{3} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} x^2 \, dx = \frac{1}{3} \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{\frac{\pi}{2}} = \frac{1}{3} \cdot \frac{\left(\frac{\pi}{2}\right)^3}{3} = \frac{1}{3} \cdot \frac{\pi^3}{24} = \frac{\pi^3}{72}$ 3. $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{x^4}{5} \, dx = \frac{1}{5} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} x^4 \, dx = \frac{1}{5} \left[ \frac{x^5}{5} \right]_{0}^{\frac{\pi}{2}} = \frac{1}{5} \cdot \frac{\left(\frac{\pi}{2}\right)^5}{5} = \frac{1}{5} \cdot \frac{\pi^5}{160} = \frac{\pi^5}{800}$ 将这些结果相加，我们得到： \[ \frac{\pi}{2} - \frac{\pi^3}{72} + \frac{\pi^5}{800} \] 然而，由于问题要求取前三项的和，且答案是数值，我们需要在 $ x = \frac{\pi}{2} $ 处评估级数 $ \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)^2} $ 的前三项： \[ \sum_{n=0}^{\in2} \frac{(-1)^n \left(\frac{\pi}{2}\right)^{2n+1}}{(2n+1)^2} = \frac{\left(\frac{\pi}{2}\right)}{1^2} - \frac{\left(\frac{\pi}{2}\right)^3}{3^2} + \frac{\left(\frac{\pi}{2}\right)^5}{5^2} = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi^3}{72} + \frac{\pi^5}{800} \] 由于问题要求取前三项的和，且答案是数值，我们直接使用数值近似： \[ \frac{1}{1^2} - \frac{1}{3^2} + \frac{1}{5^2} = 1 - \frac{1}{9} + \frac{1}{25} = \frac{225}{225} - \frac{25}{225} + \frac{9}{225} = \frac{209}{225} \] 因此，正确答案是： \[ \boxed{A} \]