题目

设F(x)是(1)/(xsqrt(1+lnx))的一个原函数，若F(1)=0，则F(e^3)=____

设$F(x)$是$\frac{1}{x\sqrt{1+lnx}}$的一个原函数，若$F(1)=0$，则$F(e^{3})=$____

题目解答

答案

设 $ u = 1 + \ln x $，则 $ du = \frac{1}{x} dx $。原积分变为： \[ \int \frac{1}{x\sqrt{1+\ln x}} \, dx = \int \frac{1}{\sqrt{u}} \, du = 2\sqrt{u} + C = 2\sqrt{1 + \ln x} + C \] 由 $ F(1) = 0 $，得 $ 2\sqrt{1 + 0} + C = 0 $，解得 $ C = -2 $。 故 $ F(x) = 2\sqrt{1 + \ln x} - 2 $。 代入 $ x = e^3 $，得： \[ F(e^3) = 2\sqrt{1 + 3} - 2 = 2 \cdot 2 - 2 = 2 \] 答案：$\boxed{2}$

解析

本题考查原函数的概念以及不定积分的计算，解题的关键在于通过换元法求出被积函数的不定积分，进而得到原函数的表达式，再利用已知条件确定常数，最后代入求值。

  1. 求$\frac{1}{x\sqrt{1 + \ln x}}$的不定积分：
    • 设$u = 1 + \ln x$，对$u$求导，根据求导公式$(\ln x)^\prime=\frac{1}{x}$，可得$du=\frac{1}{x}dx$。
    • 将$u = 1 + \ln x$和$du=\frac{1}{x}dx$代入原积分$\int\frac{1}{x\sqrt{1 + \ln x}}dx$，则原积分变为$\int\frac{1}{\sqrt{u}}du$。
    • 根据积分公式$\int u^n du=\frac{u^{n + 1}}{n + 1}+C(n\neq -1)$，对于$\int\frac{1}{\sqrt{u}}du=\int u^{-\frac{1}{2}}du$，可得$\int u^{-\frac{1}{2}}du=\frac{u^{-\frac{1}{2}+1}}{-\frac{1}{2}+1}+C=\frac{u^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}}+C = 2\sqrt{u}+C$。
    • 再把$u = 1 + \ln x$代回，得到$\int\frac{1}{x\sqrt{1 + \ln x}}dx = 2\sqrt{1 + \ln x}+C$。
  2. 确定常数$C$：
    • 因为$F(x)$是$\frac{1}{x\sqrt{1 + \ln x}}$的一个原函数，所以$F(x)=2\sqrt{1 + \ln x}+C$。
    • 已知$F(1)=0$，将$x = 1$代入$F(x)=2\sqrt{1 + \ln x}+C$中，可得$2\sqrt{1 + \ln 1}+C = 0$。
    • 由于$\ln 1 = 0$，则$2\sqrt{1 + 0}+C = 0$，即$2 + C = 0$，解得$C = -2$。
  3. 求出$F(x)$的表达式并计算$F(e^3)$：
    • 把$C = -2$代入$F(x)=2\sqrt{1 + \ln x}+C$，得到$F(x)=2\sqrt{1 + \ln x}-2$。
    • 将$x = e^3$代入$F(x)=2\sqrt{1 + \ln x}-2$中，可得$F(e^3)=2\sqrt{1 + \ln e^3}-2$。
    • 根据对数的运算法则$\ln a^b = b\ln a$，则$\ln e^3 = 3\ln e = 3$，所以$F(e^3)=2\sqrt{1 + 3}-2$。
    • 先计算根号内的值$1 + 3 = 4$，则$F(e^3)=2\sqrt{4}-2$，又因为$\sqrt{4}=2$，所以$F(e^3)=2\times 2 - 2 = 2$。