题目
已知(0)=1, (2)=3, '(2)=5,则(0)=1, (2)=3, '(2)=5等于( )A. 12 B. 8 C. 7 D. 6
已知
,则
等于( )
B. 8
C. 7
D. 6
题目解答
答案
B
解析:
解析
步骤 1：应用分部积分法
分部积分法公式为：$\int u dv = uv - \int v du$。这里，我们设$u = x$，$dv = f''(x)dx$，则$du = dx$，$v = f'(x)$。因此，原积分可以写为：
${\int }_{0}^{2}xf''(x)dx = [xf'(x)]_{0}^{2} - {\int }_{0}^{2}f'(x)dx$。
步骤 2：计算第一项
根据题目条件，$f'(2) = 5$，$f'(0)$未知，但不影响计算，因为$0 \cdot f'(0) = 0$。所以，$[xf'(x)]_{0}^{2} = 2f'(2) - 0 = 2 \cdot 5 = 10$。
步骤 3：计算第二项
${\int }_{0}^{2}f'(x)dx = f(x)|_{0}^{2} = f(2) - f(0) = 3 - 1 = 2$。
步骤 4：合并结果
将步骤2和步骤3的结果合并，得到${\int }_{0}^{2}xf''(x)dx = 10 - 2 = 8$。
分部积分法公式为：$\int u dv = uv - \int v du$。这里，我们设$u = x$，$dv = f''(x)dx$，则$du = dx$，$v = f'(x)$。因此，原积分可以写为：
${\int }_{0}^{2}xf''(x)dx = [xf'(x)]_{0}^{2} - {\int }_{0}^{2}f'(x)dx$。
步骤 2：计算第一项
根据题目条件，$f'(2) = 5$，$f'(0)$未知，但不影响计算，因为$0 \cdot f'(0) = 0$。所以，$[xf'(x)]_{0}^{2} = 2f'(2) - 0 = 2 \cdot 5 = 10$。
步骤 3：计算第二项
${\int }_{0}^{2}f'(x)dx = f(x)|_{0}^{2} = f(2) - f(0) = 3 - 1 = 2$。
步骤 4：合并结果
将步骤2和步骤3的结果合并，得到${\int }_{0}^{2}xf''(x)dx = 10 - 2 = 8$。