题目

25.（2.5分）矩阵A=(}2&1&0&33&3&2&1)的最高阶子式为3阶行列式。A 对B 错

25.（2.5分）矩阵$A=\left(\begin{matrix}2&1&0&3\\3&3&2&1\end{matrix}\right)$的最高阶子式为3阶行列式。 A 对 B 错

题目解答

答案

为了确定矩阵 $ A = \left(\begin{matrix}2&1&0&3\\3&3&2&1\end{matrix}\right) $ 的最高阶子式，我们需要考虑矩阵的阶数以及可能的子式。 矩阵 $ A $ 是一个 $ 2 \times 4 $ 矩阵，这意味着它有2行和4列。一个矩阵的最高阶子式是该矩阵的行数和列数中较小的那一个。在这个情况下，行数是2，列数是4，所以最高阶子式是一个2阶行列式。 让我们验证这一点。一个2阶子式是通过从矩阵中选择2行和2列得到的。例如，我们可以选择第一行和第二行，以及第一列和第二列，得到子式： \[ \begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 3 & 3 \end{vmatrix} = 2 \cdot 3 - 1 \cdot 3 = 6 - 3 = 3. \] 由于这个行列式不为零，它是一个有效的2阶子式。 我们不能形成一个3阶子式，因为矩阵只有2行。一个3阶子式需要3行和3列，而矩阵 $ A $ 没有3行。 因此，矩阵 $ A $ 的最高阶子式是一个2阶行列式，而不是3阶行列式。正确答案是： \[ \boxed{B} \]

解析

本题考察矩阵最高阶子式的概念。矩阵的最高阶子式的阶数等于矩阵的行数和列数中的较小值。

关键分析：

矩阵$A=\begin{pmatrix}2&1&0&3\\3&3&2&1\end{pmatrix}$是$2 \times 4$矩阵（2行4列），因此其最高阶子式的阶数为$\min(2,4)=2$。

验证：

  • 2阶子式：从2行中选2行（仅1种选法），从4列中选2列（共$\binom{4}{2}=6$种选法），例如选第1、2列得到：
    $\begin{vmatrix}2&1\\3&3\end{vmatrix}=2 \times 3 - 1 \times 3=3 \neq 0$
    存在非零的2阶子式。
  • 3阶子式：需要3行，但矩阵仅2行，无法选出3行，因此不存在3阶子式。