题目

lim _(xarrow 0)dfrac (sin 2x-2sin x)(x(sqrt [3]{1+{x)^2}-1)}.

$\lim_{x\rightarrow0}\frac{\sin2x-2\sin x}{x\left(\sqrt[3]{1+x^2}-1\right)}$ .

题目解答

答案

$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin 2 x-2 \sin x}{x\left(\sqrt[3]{1+x^2}-1\right)}$

$=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{2 \sin x \cos x-2 \sin x}{x\left[\left(1+x^2\right)^{\frac{1}{3}}-1\right]}$

$=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{2 \sin x(\cos x-1)}{x\left[\left(1+x^2\right)^{\frac{1}{3}}-1\right]}$

∵有等价无穷小，即：当 $f(x) \rightarrow 0$ 时， $\sin f(x)\sim f(x)$ ， $\cos f\left(x\right)-1\sim-\frac{1}{2}f^2\left(x\right)$ ， $\left[1+f\left(x\right)\right]^a-1\sim af\left(x\right)$

∴ $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{2 \sin x(\cos x-1)}{x\left[\left(1+x^2\right)^{\frac{1}{3}}-1\right]}$

$=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{2 x \cdot\left(-\frac{1}{2} x^2\right)}{x \cdot\left(\frac{1}{3} x^2\right)}$

$=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{-x^3}{\frac{1}{3} x^3}$

$=-3$

故本题答案为 $-3$ .

解析

考查要点：本题主要考查等价无穷小替换的应用，以及对三角函数和根式展开式的处理能力。关键在于将分子和分母中的复杂表达式转化为等价的简单多项式形式，从而简化极限计算。

解题核心思路：

分子变形：利用三角恒等式将$\sin 2x$展开，提取公因式后，将$\cos x -1$替换为等价无穷小。
分母处理：将根式表达式$\sqrt[3]{1+x^2}-1$替换为等价无穷小。
代入化简：通过等价无穷小替换，将原式转化为多项式比值，直接计算极限。

破题关键点：

分子中的$\cos x -1$替换为$-\frac{1}{2}x^2$。
分母中的$\sqrt[3]{1+x^2}-1$替换为$\frac{1}{3}x^2$。
$\sin x$替换为$x$。

分子变形

原式分子为$\sin 2x - 2\sin x$，利用双角公式$\sin 2x = 2\sin x \cos x$，可得：
$\sin 2x - 2\sin x = 2\sin x (\cos x - 1)$

等价无穷小替换

分子部分：当$x \to 0$时，$\cos x - 1 \sim -\frac{1}{2}x^2$，且$\sin x \sim x$，因此：
$2\sin x (\cos x - 1) \sim 2x \cdot \left(-\frac{1}{2}x^2\right) = -x^3$
分母部分：当$x \to 0$时，$\sqrt[3]{1+x^2} - 1 \sim \frac{1}{3}x^2$，因此分母为：
$x \cdot \left(\sqrt[3]{1+x^2} - 1\right) \sim x \cdot \frac{1}{3}x^2 = \frac{1}{3}x^3$

化简求极限

将分子和分母的等价形式代入原式：
$\lim_{x \to 0} \frac{-x^3}{\frac{1}{3}x^3} = \lim_{x \to 0} \frac{-1}{\frac{1}{3}} = -3$