题目
.2-23 已知一质量为m的质点在x轴上运动,质点只受到指向原点的引力-|||-的作用,引力大小与质点离原点的距离x的二次方成反比,即 =-k/(x)^2 ,k是比-|||-例常量.设质点在 x=A 时的速度为零,求质点在 x=A/4 处的速度的大小.
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定质点的运动方程
根据牛顿第二定律，质点受到的力 $F$ 与加速度 $a$ 的关系为 $F = ma$。由于力 $F$ 与质点离原点的距离 $x$ 的二次方成反比，即 $F = -\frac{k}{x^2}$，因此有 $ma = -\frac{k}{x^2}$。将加速度 $a$ 表示为速度 $v$ 对时间 $t$ 的导数，即 $a = \frac{dv}{dt}$，并利用链式法则将 $a$ 表示为 $v$ 对 $x$ 的导数，即 $a = \frac{dv}{dt} = \frac{dv}{dx} \frac{dx}{dt} = v \frac{dv}{dx}$。因此，运动方程可以写为 $mv \frac{dv}{dx} = -\frac{k}{x^2}$。
步骤 2：分离变量并积分
将运动方程 $mv \frac{dv}{dx} = -\frac{k}{x^2}$ 分离变量，得到 $mvdv = -\frac{k}{x^2}dx$。对两边积分，积分区间为质点从 $x = A$ 到 $x = A/4$，速度从 $v = 0$ 到 $v = v$，即 ${\int }_{0}^{v}mvdv = -{\int }_{A}^{\frac{A}{4}}\frac{k}{x^2}dx$。计算积分，得到 $\frac{1}{2}mv^2 = \frac{k}{A} - \frac{k}{A/4} = \frac{3k}{A}$。
步骤 3：求解速度
由步骤 2 的结果 $\frac{1}{2}mv^2 = \frac{3k}{A}$，解出速度 $v$，得到 $v = \sqrt{\frac{6k}{mA}}$。
根据牛顿第二定律，质点受到的力 $F$ 与加速度 $a$ 的关系为 $F = ma$。由于力 $F$ 与质点离原点的距离 $x$ 的二次方成反比，即 $F = -\frac{k}{x^2}$，因此有 $ma = -\frac{k}{x^2}$。将加速度 $a$ 表示为速度 $v$ 对时间 $t$ 的导数，即 $a = \frac{dv}{dt}$，并利用链式法则将 $a$ 表示为 $v$ 对 $x$ 的导数，即 $a = \frac{dv}{dt} = \frac{dv}{dx} \frac{dx}{dt} = v \frac{dv}{dx}$。因此，运动方程可以写为 $mv \frac{dv}{dx} = -\frac{k}{x^2}$。
步骤 2：分离变量并积分
将运动方程 $mv \frac{dv}{dx} = -\frac{k}{x^2}$ 分离变量，得到 $mvdv = -\frac{k}{x^2}dx$。对两边积分，积分区间为质点从 $x = A$ 到 $x = A/4$，速度从 $v = 0$ 到 $v = v$，即 ${\int }_{0}^{v}mvdv = -{\int }_{A}^{\frac{A}{4}}\frac{k}{x^2}dx$。计算积分，得到 $\frac{1}{2}mv^2 = \frac{k}{A} - \frac{k}{A/4} = \frac{3k}{A}$。
步骤 3：求解速度
由步骤 2 的结果 $\frac{1}{2}mv^2 = \frac{3k}{A}$，解出速度 $v$，得到 $v = \sqrt{\frac{6k}{mA}}$。