已知向量 a_1, a_2, a_3, a_4, a_5，且有 r(alpha _1, alpha _2, alpha _3, alpha _4)= 3，r(alpha _1, alpha _2, alpha _3, alpha _5)= 4，则 r(a_1, a_2, a_3, a_4 + a_5)= ()A. 2B. 4C. 3D. 1

考查要点：本题主要考查向量组的秩与线性相关性的关系，以及向量线性组合后的秩变化。

解题核心思路：

1. 秩的定义：向量组的秩是极大线性无关组的向量个数。
2. 关键条件分析：
   • $r(\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \alpha_4) = 3$，说明$\alpha_4$可被$\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$线性表出。
   • $r(\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \alpha_5) = 4$，说明$\alpha_5$与$\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$线性无关。
3. 核心推导：将$\alpha_4 + \alpha_5$表示为$\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$的线性组合加上$\alpha_5$，结合线性无关性判断新向量组的秩。

破题关键点：通过$\alpha_4$的线性表示关系，将$\alpha_4 + \alpha_5$转化为与$\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \alpha_5$相关的组合，进而分析线性相关性。

条件分析

1. $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \alpha_4$的秩为3
   说明$\alpha_4$可被$\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$线性表出，即存在实数$k_1, k_2, k_3$，使得：
   $\alpha_4 = k_1 \alpha_1 + k_2 \alpha_2 + k_3 \alpha_3$

2. $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \alpha_5$的秩为4
   说明这四个向量线性无关，$\alpha_5$不能被$\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$线性表出。

向量组$\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \alpha_4 + \alpha_5$的秩

将$\alpha_4 + \alpha_5$代入原向量组：
$\alpha_4 + \alpha_5 = (k_1 \alpha_1 + k_2 \alpha_2 + k_3 \alpha_3) + \alpha_5$

线性相关性分析：
假设存在线性组合$c_1 \alpha_1 + c_2 \alpha_2 + c_3 \alpha_3 + c_4 (\alpha_4 + \alpha_5) = 0$，代入$\alpha_4$的表达式得：
$c_1 \alpha_1 + c_2 \alpha_2 + c_3 \alpha_3 + c_4 (k_1 \alpha_1 + k_2 \alpha_2 + k_3 \alpha_3 + \alpha_5) = 0$
整理后：
$(c_1 + c_4 k_1) \alpha_1 + (c_2 + c_4 k_2) \alpha_2 + (c_3 + c_4 k_3) \alpha_3 + c_4 \alpha_5 = 0$

由于$\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \alpha_5$线性无关，系数必须全为0：
$\begin{cases}c_1 + c_4 k_1 = 0 \\c_2 + c_4 k_2 = 0 \\c_3 + c_4 k_3 = 0 \\c_4 = 0\end{cases}$
解得$c_4 = 0$，进而$c_1 = c_2 = c_3 = 0$。因此，$\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \alpha_4 + \alpha_5$线性无关，秩为4。