设函数 f(x)= lim_(n to infty) (1 + x)/(1 + x^2n)，则下列结论成立的是(）。A. f(x) 无间断点B. f(x) 有间断点 x = 1C. f(x) 有间断点 x = 0D. f(x) 有间断点 x = -1

考查要点：本题主要考查分段函数的极限求解及连续性判断，需结合不同区间内$x^{2n}$的极限行为，分析函数$f(x)$的表达式，进而判断间断点的存在性。

解题核心思路：

1. 分区间讨论：根据$x$的绝对值大小（$|x| < 1$、$|x| > 1$、$|x|=1$），分析$x^{2n}$的极限，从而确定$f(x)$的表达式。
2. 判断连续性：分别计算函数在$x=1$、$x=-1$、$x=0$处的左右极限与函数值，判断是否存在间断点。

破题关键点：

• 当$|x| < 1$时，$x^{2n} \to 0$，此时$f(x) = 1 + x$；
• 当$|x| > 1$时，$x^{2n} \to +\infty$，此时$f(x) = 0$；
• 当$x = 1$或$x = -1$时，需直接代入计算极限值；
• 重点分析$x=1$处的左右极限，判断是否连续。

分区间讨论$f(x)$的表达式

1. 当$|x| < 1$时：
   $x^{2n} \to 0$，因此
   $f(x) = \frac{1 + x}{1 + 0} = 1 + x.$

2. 当$|x| > 1$时：
   $x^{2n} \to +\infty$，分子分母同除以$x^{2n}$得
   $f(x) = \frac{(1 + x)/x^{2n}}{1/x^{2n} + 1} \to \frac{0}{1} = 0.$

3. 当$x = 1$时：
   直接代入得
   $f(1) = \frac{1 + 1}{1 + 1^{2n}} = \frac{2}{2} = 1.$

4. 当$x = -1$时：
   分子为$1 + (-1) = 0$，分母为$1 + (-1)^{2n} = 2$，因此
   $f(-1) = \frac{0}{2} = 0.$

连续性分析

• 在$x = 1$处：

  • 左极限（$x \to 1^-$）：$|x| < 1$，故$f(x) = 1 + x \to 2$；
  • 函数值$f(1) = 1$；
  • 左极限$\neq$函数值，故$x=1$为间断点。

• 在$x = -1$处：

  • 左右极限（$x \to -1$）：无论$|x| < 1$还是$|x| > 1$，极限均为$0$；
  • 函数值$f(-1) = 0$；
  • 极限$=$函数值，故连续。

• 在$x = 0$处：

  • $f(0) = 1 + 0 = 1$；
  • 极限$\lim_{x \to 0} f(x) = 1$；
  • 极限$=$函数值，故连续。