题目
设函数 f(x)= lim_(n to infty) (1 + x)/(1 + x^2n)，则下列结论成立的是(）。 A f(x) 无间断点 B f(x) 有间断点 x = 1 C f(x) 有间断点 x = 0 D f(x) 有间断点 x = -1
设函数 $f(x)= \lim_{n \to \infty} \frac{1 + x}{1 + x^{2n}}$，则下列结论成立的是(）。
A $f(x)$ 无间断点
B $f(x)$ 有间断点 $x = 1$
C $f(x)$ 有间断点 $x = 0$
D $f(x)$ 有间断点 $x = -1$
题目解答
答案
分析函数 $ f(x) = \lim_{n \to \infty} \frac{1 + x}{1 + x^{2n}} $ 的不同情况：
1. **当 $ |x| < 1 $ 时**：
$ x^{2n} \to 0 $，故 $ f(x) = 1 + x $。
2. **当 $ |x| > 1 $ 时**：
$ x^{2n} \to +\infty $，分子分母同除以 $ x^{2n} $ 得 $ f(x) = 0 $。
3. **当 $ x = 1 $ 时**：
$ f(1) = \frac{2}{2} = 1 $。
4. **当 $ x = -1 $ 时**：
$ f(-1) = \frac{0}{2} = 0 $。
函数表达式为：
\[
f(x) = \begin{cases}
1 + x & |x| < 1 \\
0 & |x| > 1 \\
1 & x = 1 \\
0 & x = -1
\end{cases}
\]
**连续性分析**：
- **在 $ x = 1 $ 处**：
$\lim_{x \to 1^-} f(x) = 2 \neq f(1) = 1$，不连续。
- **在 $ x = -1 $ 处**：
$\lim_{x \to -1^-} f(x) = \lim_{x \to -1^+} f(x) = 0 = f(-1)$，连续。
- **在 $ x = 0 $ 处**：
$\lim_{x \to 0} f(x) = 1 = f(0)$，连续。
**答案**：
函数在 $ x = 1 $ 处有间断点，选 $\boxed{B}$。
解析
考查要点：本题主要考查分段函数的极限求解及连续性判断，需结合不同区间内$x^{2n}$的极限行为，分析函数$f(x)$的表达式，进而判断间断点的存在性。
解题核心思路：
- 分区间讨论：根据$x$的绝对值大小（$|x| < 1$、$|x| > 1$、$|x|=1$），分析$x^{2n}$的极限，从而确定$f(x)$的表达式。
- 判断连续性：分别计算函数在$x=1$、$x=-1$、$x=0$处的左右极限与函数值，判断是否存在间断点。
破题关键点：
- 当$|x| < 1$时，$x^{2n} \to 0$，此时$f(x) = 1 + x$；
- 当$|x| > 1$时，$x^{2n} \to +\infty$，此时$f(x) = 0$；
- 当$x = 1$或$x = -1$时，需直接代入计算极限值；
- 重点分析$x=1$处的左右极限，判断是否连续。
分区间讨论$f(x)$的表达式
-
当$|x| < 1$时：
$x^{2n} \to 0$，因此
$f(x) = \frac{1 + x}{1 + 0} = 1 + x.$ -
当$|x| > 1$时：
$x^{2n} \to +\infty$，分子分母同除以$x^{2n}$得
$f(x) = \frac{(1 + x)/x^{2n}}{1/x^{2n} + 1} \to \frac{0}{1} = 0.$ -
当$x = 1$时：
直接代入得
$f(1) = \frac{1 + 1}{1 + 1^{2n}} = \frac{2}{2} = 1.$ -
当$x = -1$时：
分子为$1 + (-1) = 0$，分母为$1 + (-1)^{2n} = 2$，因此
$f(-1) = \frac{0}{2} = 0.$
连续性分析
-
在$x = 1$处：
- 左极限（$x \to 1^-$）：$|x| < 1$，故$f(x) = 1 + x \to 2$；
- 函数值$f(1) = 1$；
- 左极限$\neq$函数值，故$x=1$为间断点。
-
在$x = -1$处：
- 左右极限（$x \to -1$）：无论$|x| < 1$还是$|x| > 1$，极限均为$0$；
- 函数值$f(-1) = 0$；
- 极限$=$函数值，故连续。
-
在$x = 0$处：
- $f(0) = 1 + 0 = 1$；
- 极限$\lim_{x \to 0} f(x) = 1$；
- 极限$=$函数值，故连续。