题目
16.(填空题，4.0分)已知随机变量X服从参数为λ的泊松分布，且P(X=1)=6P(X=3)，则λ=____
16.(填空题，4.0分)
已知随机变量X服从参数为λ的泊松分布，且P(X=1)=6P(X=3)，则λ=____
题目解答
答案
为了求解参数为 $\lambda$ 的泊松分布中 $P(X=1)=6P(X=3)$ 的 $\lambda$ 值，我们首先需要使用泊松分布的概率质量函数。泊松分布的概率质量函数定义为：
\[ P(X = k) = \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!} \]
其中 $k$ 是非负整数，$\lambda$ 是泊松分布的参数。
根据题目，我们有 $P(X=1) = 6P(X=3)$。将泊松分布的概率质量函数代入这个等式，我们得到：
\[ \frac{\lambda^1 e^{-\lambda}}{1!} = 6 \cdot \frac{\lambda^3 e^{-\lambda}}{3!} \]
可以简化为：
\[ \lambda e^{-\lambda} = 6 \cdot \frac{\lambda^3 e^{-\lambda}}{6} \]
由于 $e^{-\lambda}$ 在两边都有，可以约去：
\[ \lambda = \lambda^3 \]
为了求解 $\lambda$，我们首先将方程移项：
\[ \lambda^3 - \lambda = 0 \]
提取公因式 $\lambda$:
\[ \lambda (\lambda^2 - 1) = 0 \]
进一步分解因式:
\[ \lambda (\lambda - 1)(\lambda + 1) = 0 \]
这给出了三个解: $\lambda = 0$, $\lambda = 1$, $\lambda = -1$。由于 $\lambda$ 是泊松分布的参数，必须为非负数，因此 $\lambda = -1$ 被排除。此外，$\lambda = 0$ 会导致 $P(X=1) = 0$ 和 $P(X=3) = 0$，这与 $P(X=1) = 6P(X=3)$ 矛盾，因此 $\lambda = 0$ 也被排除。因此，唯一有效的解是:
\[ \lambda = 1 \]
所以，$\lambda$ 的值是 $\boxed{1}$。
解析
步骤 1：写出泊松分布的概率质量函数
泊松分布的概率质量函数定义为：\[ P(X = k) = \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!} \] 其中 $k$ 是非负整数，$\lambda$ 是泊松分布的参数。
步骤 2：根据题目条件建立方程
根据题目条件 $P(X=1) = 6P(X=3)$，代入泊松分布的概率质量函数，我们得到：\[ \frac{\lambda^1 e^{-\lambda}}{1!} = 6 \cdot \frac{\lambda^3 e^{-\lambda}}{3!} \]
步骤 3：简化方程并求解
简化方程：\[ \lambda e^{-\lambda} = 6 \cdot \frac{\lambda^3 e^{-\lambda}}{6} \] 约去 $e^{-\lambda}$：\[ \lambda = \lambda^3 \] 移项并分解因式：\[ \lambda (\lambda^2 - 1) = 0 \] \[ \lambda (\lambda - 1)(\lambda + 1) = 0 \] 解得：\[ \lambda = 0, \lambda = 1, \lambda = -1 \] 由于 $\lambda$ 是泊松分布的参数，必须为非负数，因此 $\lambda = -1$ 被排除。$\lambda = 0$ 会导致 $P(X=1) = 0$ 和 $P(X=3) = 0$，这与 $P(X=1) = 6P(X=3)$ 矛盾，因此 $\lambda = 0$ 也被排除。因此，唯一有效的解是 $\lambda = 1$。
泊松分布的概率质量函数定义为：\[ P(X = k) = \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!} \] 其中 $k$ 是非负整数，$\lambda$ 是泊松分布的参数。
步骤 2：根据题目条件建立方程
根据题目条件 $P(X=1) = 6P(X=3)$，代入泊松分布的概率质量函数，我们得到：\[ \frac{\lambda^1 e^{-\lambda}}{1!} = 6 \cdot \frac{\lambda^3 e^{-\lambda}}{3!} \]
步骤 3：简化方程并求解
简化方程：\[ \lambda e^{-\lambda} = 6 \cdot \frac{\lambda^3 e^{-\lambda}}{6} \] 约去 $e^{-\lambda}$：\[ \lambda = \lambda^3 \] 移项并分解因式：\[ \lambda (\lambda^2 - 1) = 0 \] \[ \lambda (\lambda - 1)(\lambda + 1) = 0 \] 解得：\[ \lambda = 0, \lambda = 1, \lambda = -1 \] 由于 $\lambda$ 是泊松分布的参数，必须为非负数，因此 $\lambda = -1$ 被排除。$\lambda = 0$ 会导致 $P(X=1) = 0$ 和 $P(X=3) = 0$，这与 $P(X=1) = 6P(X=3)$ 矛盾，因此 $\lambda = 0$ 也被排除。因此，唯一有效的解是 $\lambda = 1$。