题目

计算题（每小题11分，本题共44分）拍照题 11/15计算定积分int_(0)^(pi)/(2)xcos xdx.

计算题（每小题11分，本题共44分） 拍照题 11/15 计算定积分$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}x\cos xdx$.

题目解答

答案

为了计算定积分$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} x \cos x \, dx$，我们将使用分部积分法。分部积分法的公式为： \[ \int u \, dv = uv - \int v \, du \] 我们需要选择$u$和$dv$。设： \[ u = x \quad \text{和} \quad dv = \cos x \, dx \] 那么，我们找到$du$和$v$： \[ du = dx \quad \text{和} \quad v = \int \cos x \, dx = \sin x \] 使用分部积分法的公式，我们得到： \[ \int x \cos x \, dx = x \sin x - \int \sin x \, dx \] 接下来，我们计算$\int \sin x \, dx$： \[ \int \sin x \, dx = -\cos x \] 将此代回我们的表达式中，我们有： \[ \int x \cos x \, dx = x \sin x - (-\cos x) = x \sin x + \cos x \] 现在，我们需要从 $0$ 到 $\frac{\pi}{2}$ 评估这个不定积分： \[ \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} x \cos x \, dx = \left[ x \sin x + \cos x \right]_{0}^{\frac{\pi}{2}} \] 我们在上限 $\frac{\pi}{2}$ 处评估表达式： \[ \left( \frac{\pi}{2} \sin \frac{\pi}{2} + \cos \frac{\pi}{2} \right) = \frac{\pi}{2} \cdot 1 + 0 = \frac{\pi}{2} \] 然后在下限 $0$ 处评估表达式： \[ \left( 0 \sin 0 + \cos 0 \right) = 0 \cdot 0 + 1 = 1 \] 从上限的值中减去下限的值： \[ \frac{\pi}{2} - 1 \] 因此，定积分的值为： \[ \boxed{\frac{\pi}{2} - 1} \]

解析

考查要点：本题主要考查定积分的计算，特别是分部积分法的应用。
解题思路：被积函数为两个函数的乘积（多项式函数$x$与三角函数$\cos x$），优先选择分部积分法。关键点在于合理选择$u$和$dv$，通常让$u$为求导后会简化次数的函数（此处选$x$），$dv$为易积分的函数（此处选$\cos x \, dx$）。
核心步骤：通过分部积分将原积分转化为更简单的积分，再代入上下限计算。

分部积分法应用

  1. 选择$u$和$dv$
    设 $u = x$，则 $du = dx$；
    设 $dv = \cos x \, dx$，则 $v = \int \cos x \, dx = \sin x$。

  2. 应用分部积分公式
    根据公式 $\int u \, dv = uv - \int v \, du$，得：
    $\int x \cos x \, dx = x \sin x - \int \sin x \, dx$

  3. 计算剩余积分
    $\int \sin x \, dx = -\cos x$，代入得：
    $\int x \cos x \, dx = x \sin x + \cos x$

  4. 代入上下限
    原定积分变为：
    $\left[ x \sin x + \cos x \right]_{0}^{\frac{\pi}{2}}$

  5. 计算上下限值

    • 上限$x = \frac{\pi}{2}$：
      $\sin \frac{\pi}{2} = 1$，$\cos \frac{\pi}{2} = 0$，故值为 $\frac{\pi}{2} \cdot 1 + 0 = \frac{\pi}{2}$。
    • 下限$x = 0$：
      $\sin 0 = 0$，$\cos 0 = 1$，故值为 $0 \cdot 0 + 1 = 1$。

  6. 求差值得结果
    $\frac{\pi}{2} - 1$