题目
4.(判断题) 向量组满足 beta_(1)=alpha_(1), beta_(2)=alpha_(1)+alpha_(2), beta_(3)=alpha_(1)+alpha_(2)+alpha_(3), 则向量组 alpha_(1), alpha_(2), alpha_(3) 与向量组 beta_(1), beta_(2), beta_(3) 等价。A 对B 错
4.(判断题) 向量组满足 $\beta_{1}=\alpha_{1}, \beta_{2}=\alpha_{1}+\alpha_{2}, \beta_{3}=\alpha_{1}+\alpha_{2}+\alpha_{3},$ 则向量组 $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}$ 与向量组 $\beta_{1}, \beta_{2}, \beta_{3}$ 等价。
A 对
B 错
题目解答
答案
为了判断向量组 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 与向量组 $\beta_1, \beta_2, \beta_3$ 是否等价，我们需要检查每个向量组中的向量是否可以表示为另一个向量组中向量的线性组合。
已知：
\[
\beta_1 = \alpha_1, \quad \beta_2 = \alpha_1 + \alpha_2, \quad \beta_3 = \alpha_1 + \alpha_2 + \alpha_3
\]
首先，我们用 $\beta_1, \beta_2, \beta_3$ 表示 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$。
1. 从 $\beta_1 = \alpha_1$，我们直接得到：
\[
\alpha_1 = \beta_1
\]
2. 从 $\beta_2 = \alpha_1 + \alpha_2$，代入 $\alpha_1 = \beta_1$，我们得到：
\[
\beta_2 = \beta_1 + \alpha_2 \implies \alpha_2 = \beta_2 - \beta_1
\]
3. 从 $\beta_3 = \alpha_1 + \alpha_2 + \alpha_3$，代入 $\alpha_1 = \beta_1$ 和 $\alpha_2 = \beta_2 - \beta_1$，我们得到：
\[
\beta_3 = \beta_1 + (\beta_2 - \beta_1) + \alpha_3 \implies \beta_3 = \beta_2 + \alpha_3 \implies \alpha_3 = \beta_3 - \beta_2
\]
因此，我们已经将 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 表示为 $\beta_1, \beta_2, \beta_3$ 的线性组合：
\[
\alpha_1 = \beta_1, \quad \alpha_2 = \beta_2 - \beta_1, \quad \alpha_3 = \beta_3 - \beta_2
\]
由于 $\beta_1, \beta_2, \beta_3$ 可以表示为 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 的线性组合（如给定），并且 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 可以表示为 $\beta_1, \beta_2, \beta_3$ 的线性组合，我们得出结论，向量组 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 与向量组 $\beta_1, \beta_2, \beta_3$ 等价。
因此，正确答案是：
\[
\boxed{A}
\]
解析
本题考查向量组等价的概念。解题思路是根据向量组等价的定义，判断向量组 $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}$ 中的向量能否由向量组 $\beta_{1}, \beta_{2}, \beta_{3}$ 线性表示，以及向量组 $\beta_{1}, \beta_{2}, \beta_{3}$ 中的向量能否由向量组 $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}$ 线性表示。若两个方向都能线性表示，则两个向量组等价。
已知 $\beta_{1}=\alpha_{1}$，$\beta_{2}=\alpha_{1}+\alpha_{2}$，$\beta_{3}=\alpha_{1}+\alpha_{2}+\alpha_{3}$，这表明向量组 $\beta_{1}, \beta_{2}, \beta_{3}$ 中的向量可以由向量组 $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}$ 线性表示。
接下来，我们尝试用 $\beta_{1}, \beta_{2}, \beta_{3}$ 表示 $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}$：
- 由 $\beta_{1}=\alpha_{1}$，可得 $\alpha_{1}=\beta_{1}$。
- 因为 $\beta_{2}=\alpha_{1}+\alpha_{2}$，将 $\alpha_{1}=\beta_{1}$ 代入，得到 $\beta_{2}=\beta_{1}+\alpha_{2}$，移项可得 $\alpha_{2}=\beta_{2}-\beta_{1}$。
- 由于 $\beta_{3}=\alpha_{1}+\alpha_{2}+\alpha_{3}$，把 $\alpha_{1}=\beta_{1}$ 和 $\alpha_{2}=\beta_{2}-\beta_{1}$ 代入，有 $\beta_{3}=\beta_{1}+(\beta_{2}-\beta_{1})+\alpha_{3}$，化简可得 $\beta_{3}=\beta_{2}+\alpha_{3}$，移项得到 $\alpha_{3}=\beta_{3}-\beta_{2}$。
综上，向量组 $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}$ 中的向量也可以由向量组 $\beta_{1}, \beta_{2}, \beta_{3}$ 线性表示。所以向量组 $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}$ 与向量组 $\beta_{1}, \beta_{2}, \beta_{3}$ 等价。