题目
已知函数f(x)=2sin((ωx-(π)/(6)))((ω＞0))在[(-(π)/(4)，-(π)/(12))]上单调递减，且∀x∈R，f(x)≤f(((2π)/(3)))，则ω=（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4
已知函数$f(x)=2sin({ωx-\frac{π}{6}})({ω＞0})$在$[{-\frac{π}{4}，-\frac{π}{12}}]$上单调递减，且∀x∈R，$f(x)≤f({\frac{2π}{3}})$，则ω=（ ）
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
题目解答
答案
D. 4
解析
步骤 1：确定函数$f(x)=2sin({ωx-\frac{π}{6}})$在$[{-\frac{π}{4}，-\frac{π}{12}}]$上的单调性
函数$f(x)=2sin({ωx-\frac{π}{6}})$在$[{-\frac{π}{4}，-\frac{π}{12}}]$上单调递减，意味着在该区间内，函数的导数$f'(x)$小于0。由于$f(x)$是正弦函数的线性变换，其单调性由$ωx-\frac{π}{6}$的单调性决定。因此，我们需要确定$ωx-\frac{π}{6}$在$[{-\frac{π}{4}，-\frac{π}{12}}]$上的变化范围。
步骤 2：确定$ωx-\frac{π}{6}$在$[{-\frac{π}{4}，-\frac{π}{12}}]$上的变化范围
当$x=-\frac{π}{4}$时，$ωx-\frac{π}{6}=-\frac{πω}{4}-\frac{π}{6}$；当$x=-\frac{π}{12}$时，$ωx-\frac{π}{6}=-\frac{πω}{12}-\frac{π}{6}$。因此，$ωx-\frac{π}{6}$在$[{-\frac{π}{4}，-\frac{π}{12}}]$上的变化范围是$[-\frac{πω}{4}-\frac{π}{6}，-\frac{πω}{12}-\frac{π}{6}]$。
步骤 3：确定$ωx-\frac{π}{6}$在$[{-\frac{π}{4}，-\frac{π}{12}}]$上的单调递减条件
由于$sin(x)$在$[-\frac{3π}{2}，-\frac{π}{2}]$上单调递减，因此，$[-\frac{πω}{4}-\frac{π}{6}，-\frac{πω}{12}-\frac{π}{6}]$应包含于$[-2kπ-\frac{3π}{2}，-2kπ-\frac{π}{2}]$，其中$k∈Z$。由此，我们得到不等式组$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{πω}{4}-\frac{π}{6}≥-2kπ-\frac{3π}{2}}\\{-\frac{πω}{12}-\frac{π}{6}≤-2kπ-\frac{π}{2}}\end{array}\right.$，其中$k∈Z$。解得$24k+4≤ω≤8k+\frac{20}{3}(k∈Z)$。由于$24k+4≤8k+\frac{20}{3}$，解得$k≤\frac{1}{6}$，又因为$k∈Z$且$ω＞0$，则$k=0$。因此，$4≤ω≤\frac{20}{3}$。
步骤 4：确定$f(x)_{max}=f(\frac{2π}{3})$的条件
由于$f(x)_{max}=f(\frac{2π}{3})$，即$f(x)$的最大值在$x=\frac{2π}{3}$处取得，因此，$\frac{2πω}{3}-\frac{π}{6}=2nπ+\frac{π}{2}(n∈Z)$。解得$ω=3n+1(n∈Z)$。因此，$ω=4$。
函数$f(x)=2sin({ωx-\frac{π}{6}})$在$[{-\frac{π}{4}，-\frac{π}{12}}]$上单调递减，意味着在该区间内，函数的导数$f'(x)$小于0。由于$f(x)$是正弦函数的线性变换，其单调性由$ωx-\frac{π}{6}$的单调性决定。因此，我们需要确定$ωx-\frac{π}{6}$在$[{-\frac{π}{4}，-\frac{π}{12}}]$上的变化范围。
步骤 2：确定$ωx-\frac{π}{6}$在$[{-\frac{π}{4}，-\frac{π}{12}}]$上的变化范围
当$x=-\frac{π}{4}$时，$ωx-\frac{π}{6}=-\frac{πω}{4}-\frac{π}{6}$；当$x=-\frac{π}{12}$时，$ωx-\frac{π}{6}=-\frac{πω}{12}-\frac{π}{6}$。因此，$ωx-\frac{π}{6}$在$[{-\frac{π}{4}，-\frac{π}{12}}]$上的变化范围是$[-\frac{πω}{4}-\frac{π}{6}，-\frac{πω}{12}-\frac{π}{6}]$。
步骤 3：确定$ωx-\frac{π}{6}$在$[{-\frac{π}{4}，-\frac{π}{12}}]$上的单调递减条件
由于$sin(x)$在$[-\frac{3π}{2}，-\frac{π}{2}]$上单调递减，因此，$[-\frac{πω}{4}-\frac{π}{6}，-\frac{πω}{12}-\frac{π}{6}]$应包含于$[-2kπ-\frac{3π}{2}，-2kπ-\frac{π}{2}]$，其中$k∈Z$。由此，我们得到不等式组$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{πω}{4}-\frac{π}{6}≥-2kπ-\frac{3π}{2}}\\{-\frac{πω}{12}-\frac{π}{6}≤-2kπ-\frac{π}{2}}\end{array}\right.$，其中$k∈Z$。解得$24k+4≤ω≤8k+\frac{20}{3}(k∈Z)$。由于$24k+4≤8k+\frac{20}{3}$，解得$k≤\frac{1}{6}$，又因为$k∈Z$且$ω＞0$，则$k=0$。因此，$4≤ω≤\frac{20}{3}$。
步骤 4：确定$f(x)_{max}=f(\frac{2π}{3})$的条件
由于$f(x)_{max}=f(\frac{2π}{3})$，即$f(x)$的最大值在$x=\frac{2π}{3}$处取得，因此，$\frac{2πω}{3}-\frac{π}{6}=2nπ+\frac{π}{2}(n∈Z)$。解得$ω=3n+1(n∈Z)$。因此，$ω=4$。