题目

设有3个元件并联，已知每个元件正常工作的概率为P，则该系统正常工作的概率为( )。(请在答题纸上手写并拍照上传)

设有3个元件并联，已知每个元件正常工作的概率为P，则该系统正常工作的概率为( )。 (请在答题纸上手写并拍照上传)

题目解答

答案

系统正常工作即至少一个元件正常工作。每个元件不正常工作的概率为 $1 - P$，所有3个元件均不正常工作的概率为 $(1 - P)^3$。因此，系统正常工作的概率为： \[ 1 - (1 - P)^3 \] 答案：$\boxed{1 - (1 - P)^3}$

解析

本题考查独立事件概率的计算以及对立对立事件概率的关系。解题的关键思路是利用对立事件的概率关系来简化计算。因为直接计算“至少一个元件正常工作”的概率比较复杂，需要分情况讨论（一个元件正常、两个元件正常、三个元件正常）会涉及到组合数等较多计算计算，而其对立事件“所有元件都不正常工作”的概率计算相对简单，所以我们先求出对立事件事件的概率，再用$1$减去对立事件的概率，即可得到系统正常工作的概率。

  1. 首先明确每个元件正常工作的概率为$P$，根据对立事件概率的性质，每个元件不正常工作的概率为$1 - P$。
  2. 由于这$3$个元件是并联元件，它们的工作状态相互独立。对于相互独立事件$A$、$B$、$C$，它们同时发生的概率等于各自发生概率的乘积，即$P(ABC)=P(A)P(B)P(C)$。所以$3$个元件均不正常工作这一事件，可看作是三个独立事件（每个元件不正常工作）同时发生，所以所有$3)个元件均不正常工作的概率为\((1 - P)\times(1 - P)\times(1 - P)=(1 - P)^3$。
  3. 系统正常工作的事件与所有元件均不正常工作的事件是对立事件。根据对立事件概率的性质，若事件$A$与事件$B$是对立事件，则$P(A)=1 - P(B)$。设系统正常工作为事件$A$，所有元件均不正常工作为事件$B$，那么系统正常工作的概率(P(A)=1 - P(B)=1 - (1 - P)^3$。