(2010年①)若函数f(x)的定义域为[1,3],则函数 (1+(x)^2) 的定义域为【 ()-|||-A.[1,3] B.[0,2] C. [ -sqrt (2),sqrt (2)] D. [ -sqrt (2),0]

考查要点：本题主要考查函数定义域的概念及复合函数定义域的求解方法。
解题核心思路：原函数$f(x)$的定义域为$[1,3]$，即$f$的输入必须满足$1 \leq x \leq 3$。对于复合函数$f(1+x^2)$，需保证$1+x^2$的取值范围在$[1,3]$内，从而反推出$x$的合法范围。
破题关键点：

1. 明确复合函数的输入关系：$1+x^2$必须属于$[1,3]$。
2. 解不等式：通过解不等式$1 \leq 1+x^2 \leq 3$，得到$x$的取值范围。

步骤1：建立不等式
根据题意，$f(1+x^2)$的定义域要求$1+x^2$在$f(x)$的定义域$[1,3]$内，即：
$1 \leq 1+x^2 \leq 3.$

步骤2：解不等式

1. 左边不等式：$1 \leq 1+x^2$
   由于$x^2 \geq 0$，此不等式恒成立，无需额外限制。
2. 右边不等式：$1+x^2 \leq 3$
   移项得：
   $x^2 \leq 2.$
   解得：
   $-\sqrt{2} \leq x \leq \sqrt{2}.$

结论：函数$f(1+x^2)$的定义域为$[-\sqrt{2}, \sqrt{2}]$，对应选项C。