题目
设 f(x)= } a + 2xsin(1)/(x), & x < 0 0, & x = 0 (tan x)/(x), & x > 0 x = 0 是 f(x) 的可去间断点，则 a = ( ) A. 0B. -1C. 1D. 2
设 $f(x)= \begin{cases} a + 2x\sin\frac{1}{x}, & x < 0 \\ 0, & x = 0 \\ \frac{\tan x}{x}, & x > 0 \end{cases}$
$x = 0$ 是 $f(x)$ 的可去间断点，则 $a = (\quad)$
- A. 0
- B. -1
- C. 1
- D. 2
题目解答
答案
计算左右极限：
- 右极限：$\lim_{x \to 0^+} \frac{\tan x}{x} = \lim_{x \to 0^+} \frac{x}{x} = 1$（利用等价无穷小）。
- 左极限：$\lim_{x \to 0^-} \left(a + 2x \sin \frac{1}{x}\right) = a$（因 $2x \sin \frac{1}{x} \to 0$）。
为使 $x=0$ 为可去间断点，需左极限等于右极限，即 $a = 1$。
答案：$\boxed{C}$
解析
考查要点：本题主要考查分段函数在分段点处的极限计算，以及可去间断点的定义与判定条件。
解题核心思路：
- 可去间断点的条件：函数在该点的左右极限存在且相等，但函数值不等于极限值（或未定义）。
- 分段函数的极限计算：分别计算$x=0$处的左极限和右极限，令两者相等，解出参数$a$的值。
破题关键点：
- 右极限：利用等价无穷小$\tan x \sim x$（当$x \to 0$时），简化计算。
- 左极限：分析$2x \sin \frac{1}{x}$的极限，通过夹逼定理得出其极限为$0$。
计算右极限（$x \to 0^+$）
当$x > 0$时，$f(x) = \frac{\tan x}{x}$。
利用等价无穷小$\tan x \sim x$（当$x \to 0$时），得：
$\lim_{x \to 0^+} \frac{\tan x}{x} = \lim_{x \to 0^+} \frac{x}{x} = 1.$
计算左极限（$x \to 0^-$）
当$x < 0$时，$f(x) = a + 2x \sin \frac{1}{x}$。
注意到$|2x \sin \frac{1}{x}| \leq 2|x|$，而$\lim_{x \to 0} 2|x| = 0$，根据夹逼定理：
$\lim_{x \to 0^-} 2x \sin \frac{1}{x} = 0.$
因此，左极限为：
$\lim_{x \to 0^-} \left(a + 2x \sin \frac{1}{x}\right) = a + 0 = a.$
确保可去间断点
若$x=0$是可去间断点，则左右极限必须相等：
$a = 1.$