题目
设 z = f(x, y) 在点 (x_0, y_0) 处自变量有增量 Delta x, Delta y 函数的全增量为 Delta z，若函数在该点可微，则在点 (x_0, y_0) 处()A. Delta z = dzB. Delta z = f_x'(x_0, y_0)Delta x + f_y'(x_0, y_0)Delta yC. Delta z = dz + o(rho) (rho = sqrt((Delta x)^2 + (Delta y)^2))D. Delta z = f_x'(x_0, y_0)+ f_y'(x_0, y_0)
设 $z = f(x, y)$ 在点 $(x_0, y_0)$ 处自变量有增量 $\Delta x, \Delta y$ 函数的全增量为 $\Delta z$，若函数在该点可微，则在点 $(x_0, y_0)$ 处()
A. $\Delta z = dz$
B. $\Delta z = f_x'(x_0, y_0)\Delta x + f_y'(x_0, y_0)\Delta y$
C. $\Delta z = dz + o(\rho)$ ($\rho = \sqrt{(\Delta x)^2 + (\Delta y)^2}$)
D. $\Delta z = f_x'(x_0, y_0)+ f_y'(x_0, y_0)$
题目解答
答案
C. $\Delta z = dz + o(\rho)$ ($\rho = \sqrt{(\Delta x)^2 + (\Delta y)^2}$)
解析
步骤 1：理解全增量和全微分的定义
函数 $z = f(x, y)$ 在点 $(x_0, y_0)$ 处的全增量 $\Delta z$ 定义为： \[ \Delta z = f(x_0 + \Delta x, y_0 + \Delta y) - f(x_0, y_0) \] 全微分 $dz$ 定义为： \[ dz = f_x'(x_0, y_0) \Delta x + f_y'(x_0, y_0) \Delta y \] 其中，$f_x'(x_0, y_0)$ 和 $f_y'(x_0, y_0)$ 分别是函数 $f(x, y)$ 在点 $(x_0, y_0)$ 处对 $x$ 和 $y$ 的偏导数。
步骤 2：分析函数在点 $(x_0, y_0)$ 处可微的条件
若函数 $z = f(x, y)$ 在点 $(x_0, y_0)$ 处可微，则全增量 $\Delta z$ 可以表示为： \[ \Delta z = f_x'(x_0, y_0) \Delta x + f_y'(x_0, y_0) \Delta y + o(\rho) \] 其中，$\rho = \sqrt{(\Delta x)^2 + (\Delta y)^2}$，$o(\rho)$ 是比 $\rho$ 高阶的无穷小量。这意味着当 $\Delta x$ 和 $\Delta y$ 趋于零时，$o(\rho)$ 的增长速度比 $\rho$ 更快。
步骤 3：确定正确的选项
根据上述分析，函数 $z = f(x, y)$ 在点 $(x_0, y_0)$ 处可微时，全增量 $\Delta z$ 可表示为： \[ \Delta z = f_x'(x_0, y_0) \Delta x + f_y'(x_0, y_0) \Delta y + o(\rho) \] 其中，$\rho = \sqrt{(\Delta x)^2 + (\Delta y)^2}$，$o(\rho)$ 是比 $\rho$ 高阶的无穷小量。全微分 $dz$ 定义为： \[ dz = f_x'(x_0, y_0) \Delta x + f_y'(x_0, y_0) \Delta y \] 因此，$\Delta z = dz + o(\rho)$，对应选项 C。
函数 $z = f(x, y)$ 在点 $(x_0, y_0)$ 处的全增量 $\Delta z$ 定义为： \[ \Delta z = f(x_0 + \Delta x, y_0 + \Delta y) - f(x_0, y_0) \] 全微分 $dz$ 定义为： \[ dz = f_x'(x_0, y_0) \Delta x + f_y'(x_0, y_0) \Delta y \] 其中，$f_x'(x_0, y_0)$ 和 $f_y'(x_0, y_0)$ 分别是函数 $f(x, y)$ 在点 $(x_0, y_0)$ 处对 $x$ 和 $y$ 的偏导数。
步骤 2：分析函数在点 $(x_0, y_0)$ 处可微的条件
若函数 $z = f(x, y)$ 在点 $(x_0, y_0)$ 处可微，则全增量 $\Delta z$ 可以表示为： \[ \Delta z = f_x'(x_0, y_0) \Delta x + f_y'(x_0, y_0) \Delta y + o(\rho) \] 其中，$\rho = \sqrt{(\Delta x)^2 + (\Delta y)^2}$，$o(\rho)$ 是比 $\rho$ 高阶的无穷小量。这意味着当 $\Delta x$ 和 $\Delta y$ 趋于零时，$o(\rho)$ 的增长速度比 $\rho$ 更快。
步骤 3：确定正确的选项
根据上述分析，函数 $z = f(x, y)$ 在点 $(x_0, y_0)$ 处可微时，全增量 $\Delta z$ 可表示为： \[ \Delta z = f_x'(x_0, y_0) \Delta x + f_y'(x_0, y_0) \Delta y + o(\rho) \] 其中，$\rho = \sqrt{(\Delta x)^2 + (\Delta y)^2}$，$o(\rho)$ 是比 $\rho$ 高阶的无穷小量。全微分 $dz$ 定义为： \[ dz = f_x'(x_0, y_0) \Delta x + f_y'(x_0, y_0) \Delta y \] 因此，$\Delta z = dz + o(\rho)$，对应选项 C。