八、(10分)假定一条生产流水线一天内发生故障的概率为0.1,流水线发生故 障时全天停止工作.若一周5个工作口屮无故障这条生产线可产生利润20万元, 一周内如果发生一次故障仍可产生利润6万元,发生两次或两次以上故障就要亏 损两万元,求一周内这条流水线产生利润的数学期望.

考查要点：本题主要考查二项分布的概率计算以及数学期望的求解，需要结合实际问题将利润情况转化为随机变量的取值，并正确计算对应概率。

解题核心思路：

1. 确定利润变量的取值：根据题目描述，利润$Y$的可能取值为$-2$万元、$6$万元、$20$万元，分别对应一周内故障次数$X$为$2$次及以上、$1$次、$0$次。
2. 计算各取值对应的概率：利用二项分布公式计算故障次数$X$的概率，再根据利润与故障次数的对应关系，整合得到$Y$的概率分布。
3. 代入数学期望公式：根据概率分布计算期望值。

破题关键点：

• 正确建立故障次数与利润的关系，明确$Y$的取值对应的$X$范围。
• 准确计算二项分布的概率，特别是$X \geq 2$时的概率需通过补集简化计算。

步骤1：确定利润变量的取值与对应条件

• $Y = 20$万元：当且仅当一周内无故障（即$X = 0$）。
• $Y = 6$万元：当且仅当一周内恰好发生1次故障（即$X = 1$）。
• $Y = -2$万元：当一周内发生2次及以上故障（即$X \geq 2$）。

步骤2：计算各取值对应的概率

1. 计算$P(Y = 20)$

故障次数$X \sim \text{B}(5, 0.1)$，当$X = 0$时：
$P(X = 0) = \binom{5}{0} (0.1)^0 (0.9)^5 = 0.9^5.$

2. 计算$P(Y = 6)$

当$X = 1$时：
$P(X = 1) = \binom{5}{1} (0.1)^1 (0.9)^4 = 5 \cdot 0.1 \cdot 0.9^4 = 0.5 \cdot 0.9^4.$

3. 计算$P(Y = -2)$

当$X \geq 2$时，利用补集性质：
$P(X \geq 2) = 1 - P(X = 0) - P(X = 1) = 1 - 0.9^5 - 0.5 \cdot 0.9^4.$
进一步化简：
$1 - 0.9^5 - 0.5 \cdot 0.9^4 = 1 - 0.9^4 (0.9 + 0.5) = 1 - 1.4 \cdot 0.9^4.$

步骤3：计算数学期望

根据期望公式：
$E(Y) = 20 \cdot P(Y = 20) + 6 \cdot P(Y = 6) + (-2) \cdot P(Y = -2).$
代入概率值：
$E(Y) = 20 \cdot 0.9^5 + 6 \cdot 0.5 \cdot 0.9^4 - 2 \cdot (1 - 1.4 \cdot 0.9^4).$