题目

若矩阵A可逆，则下列等式成立的是[ ] (A) A=(1)/(|A|)A^*; (B) |A|=0; (C) (A^2)^-1=(A^-1)^2; (D) (3A)^-1=3A^-1

若矩阵A可逆，则下列等式成立的是[ ] (A) $A=\frac{1}{|A|}A^{*}$; (B) |A|=0; (C) $(A^{2})^{-1}=(A^{-1})^{2}$; (D) $(3A)^{-1}=3A^{-1}$

题目解答

答案

对于可逆矩阵 $ A $，其行列式 $ |A| \neq 0 $。分析各选项： A. $ A = \frac{1}{|A|}A^* $：由逆矩阵公式 $ A^{-1} = \frac{1}{|A|}A^* $，无法推导出该等式，错误。 B. $ |A| = 0 $：与可逆条件矛盾，错误。 C. $ (A^2)^{-1} = (A^{-1})^2 $：由逆矩阵性质 $ (AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1} $，得 $ (A^2)^{-1} = (A^{-1})^2 $，正确。 D. $ (3A)^{-1} = 3A^{-1} $：应为 $ (3A)^{-1} = \frac{1}{3}A^{-1} $，错误。答案：$\boxed{C}$

解析

本题主要考查可逆矩阵的性质，解题思路是根据可逆矩阵的相关定义和性质，对每个选项逐一进行分析判断。

选项A：
根据可逆矩阵的定义，若矩阵$A$可逆，则$A^{-1}=\frac{1}{|A|}A^{*}$，其中$|A|$是矩阵$A$的行列式，$A^{*}$是矩阵$A$的伴随矩阵。
而选项A中给出的等式是$A = \frac{1}{||A|}A^{*}$，与可逆矩阵的定义不符，无法从$A^{-1}=\frac{1}{|A|}A^{*}$推导出$A = \frac{1}{|A|}A^{*}$，所以该选项错误。
选项B：
根据可逆矩阵的判定定理，矩阵$n$阶矩阵$A$可逆的充要条件是$|A|\neq 0$。
而选项B中说$|A| = 0$，这与可逆矩阵的判定定理相矛盾，所以该选项错误。
选项C：
根据逆矩阵的性质，对于两个可逆矩阵$A$和$B$，有$(AB)^{-1}) = B^{-1}A^{-1}$。
对于$(A^{2})^{-1}$，因为$A^{2 = AA$，令$B = A$，则$(A^{2})^{-1}=(AA)^{-1}$。
根据上述性质可得$(AA)^{-1}=A^{-1}A^{-1}=(A^{-1})^{2}$，所以该选项C正确。
选项D：
根据逆矩阵的性质，对于可逆矩阵$A$和非零常数$k$，有$(kA)^{-1}=\frac{1}{k}A^{-1}$。
在选项D中，$k = 3$，所以$(3A)^{-1}=\frac{1}{3}A^{-1}$，而不是$3A^{-1}$，所以该选项错误。