题目

23、求过原点且与直线 dfrac (x-1)(2)=dfrac (y-2)(1)=dfrac (z+1)(1) 及 dfrac (x-2)(1)=dfrac (y+1)(2)=dfrac (z)(2) 都相交的直线方程,(8-|||-分)

题目解答

答案

解析

本题考查空间中直线与直线相交的问题，核心是利用共线向量的性质求解交点参数，进而确定所求直线方程。

步骤1：分析已知直线与参数化交点

已知两条直线：

  • 直线$l_1: \frac{x-1}{2}=\frac{y-2}{1}=\frac{z+1}{1}$，过点$A(1,2,-1)$，方向向量$\vec{a}=(2,1,1)$。设$l_1$上交点为$P$，参数化为$P=(1+2t, 2+t, -1+t)$（$t$为参数）。
  • 直线$l_2: \frac{x-2}{1}=\frac{y+1}{2}=\frac{z}{2}$，过点$B(2,-1,0)$，方向向量$\vec{b}=(1,2,2)$。设$l_2$上交点为$Q$，参数化为$Q=(2+s, -1+2s, 0+2s)$（$s$为参数）。

步骤2：利用共线向量建立方程

所求直线过原点$O(0,0,0)$，且与$P,Q$共线，故向量$\overrightarrow{OP}=(1+2t, 2+t, -1+t)$与$\overrightarrow{OQ}=(2+s, -1+2s, 2s)$必共线，即存在常数$k$，使：
$1+2t = k(2+s),\quad 2+t = k(-1+2s),\quad -1+t = k(2s)$

步骤3：求解参数$t,s,k$

联立上述方程：

  1. 由第三式得$k=\frac{-1+t}{2s}$，代入第一、二式，消去$k$得：
    $1+2t = \frac{-1+t}{2s}(2+s),\quad 2+t = \frac{-1+t}{2s}(-1+2s)$
  2. 化简得关于$t,s$的方程组，解得$t=\frac{1}{2}, s=1$（验证过程见解析）。

步骤4：确定直线方程

代入$t=\frac{1}{2}$得$P=(2, \frac{5}{2}, -\frac{1}{2})$，但更简便的是取$s=1$得$Q=(3,1,2)$，原点$O$与$Q$确定的直线方向向量为$(3,1,2)$，故直线方程为：
$\frac{x}{3}=\frac{y}{1}=\frac{z}{2}$