题目
设随机变量X,Y都服从均匀分布U(-1,1)，且X与Y相互独立，则随机变量(X,Y)的联合密度函数p(x,y)=()A. p(x,y)=} (1)/(2) & -1
设随机变量$X,Y$都服从均匀分布$U(-1,1)$，且$X$与$Y$相互独立，则随机变量$(X,Y)$的联合密度函数$p(x,y)=$()
A. $p(x,y)=\begin{cases} \frac{1}{2} & -1< x< 1,-1< y< 1 \\ 0 & \text{其他} \end{cases}$
B. $p(x,y)=\begin{cases} 4 & -1< x< 1,-1< y< 1 \\ 0 & \text{其他} \end{cases}$
C. $p(x,y)=\begin{cases} 2 & -1< x< 1,-1< y< 1 \\ 0 & \text{其他} \end{cases}$
D. $p(x,y)=\begin{cases} \frac{1}{4} & -1< x< 1,-1< y< 1 \\ 0 & \text{其他} \end{cases}$
题目解答
答案
D. $p(x,y)=\begin{cases} \frac{1}{4} & -1< x< 1,-1< y< 1 \\ 0 & \text{其他} \end{cases}$
解析
步骤 1：确定单个随机变量的密度函数
由于随机变量 $X$ 和 $Y$ 都服从均匀分布 $U(-1, 1)$，它们的密度函数分别为：
\[ f_X(x) = \frac{1}{2}, \quad -1 < x < 1 \]
\[ f_Y(y) = \frac{1}{2}, \quad -1 < y < 1 \]
步骤 2：计算联合密度函数
由于 $X$ 和 $Y$ 相互独立，联合密度函数 $p(x, y)$ 可以通过将两个密度函数相乘得到：
\[ p(x, y) = f_X(x) \cdot f_Y(y) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4}, \quad -1 < x < 1, -1 < y < 1 \]
步骤 3：确定其他区域的值
对于其他区域，即 $x$ 或 $y$ 不在 $(-1, 1)$ 范围内时，联合密度函数 $p(x, y)$ 的值为 0。
由于随机变量 $X$ 和 $Y$ 都服从均匀分布 $U(-1, 1)$，它们的密度函数分别为：
\[ f_X(x) = \frac{1}{2}, \quad -1 < x < 1 \]
\[ f_Y(y) = \frac{1}{2}, \quad -1 < y < 1 \]
步骤 2：计算联合密度函数
由于 $X$ 和 $Y$ 相互独立，联合密度函数 $p(x, y)$ 可以通过将两个密度函数相乘得到：
\[ p(x, y) = f_X(x) \cdot f_Y(y) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4}, \quad -1 < x < 1, -1 < y < 1 \]
步骤 3：确定其他区域的值
对于其他区域，即 $x$ 或 $y$ 不在 $(-1, 1)$ 范围内时，联合密度函数 $p(x, y)$ 的值为 0。