题目
4、甲、乙、丙三个厂家生产同一种型号的空调，它们的市场占有额分别为35%，50%，15%；三个厂家的次品率依次为1%，1.5%，2%。求① 从产品中任取一件商品，该商品是次品的概率；② 已知该产品为次品，问该产品由那个厂家生产的概率最大？
4、甲、乙、丙三个厂家生产同一种型号的空调，它们的市场占有额分别为35%，50%，15%；三个厂家的次品率依次为1%，1.5%，2%。求
① 从产品中任取一件商品，该商品是次品的概率；
② 已知该产品为次品，问该产品由那个厂家生产的概率最大？
题目解答
答案
解：已知甲、乙、丙三个厂家生产同一种型号的空调，它们的市场占有额分别为35%，50%，15%；三个厂家的次品率依次为1%，1.5%，2%。
① 取到商品为次品的概率为
；
② 若取到的是次品，
则此次品由甲厂家生产的概率为
，
此次品由乙厂家生产的概率为
，
此次品由丙厂家生产的概率为
，
因为
\frac{1}{4}>\frac{3}{14}" data-width="125" data-height="45" data-size="2169" data-format="png" style="max-width:100%">，所以该产品由乙厂家生产为次品概率最大。
解析
步骤 1：计算从产品中任取一件商品，该商品是次品的概率
根据全概率公式，我们可以计算出从产品中任取一件商品，该商品是次品的概率。设事件A表示取到次品，事件B1、B2、B3分别表示取到甲、乙、丙厂家的产品。则有：
$$
P(A) = P(B1)P(A|B1) + P(B2)P(A|B2) + P(B3)P(A|B3)
$$
其中，$P(B1) = 0.35$，$P(B2) = 0.5$，$P(B3) = 0.15$，$P(A|B1) = 0.01$，$P(A|B2) = 0.015$，$P(A|B3) = 0.02$。
步骤 2：计算已知该产品为次品，该产品由那个厂家生产的概率
根据贝叶斯公式，我们可以计算出已知该产品为次品，该产品由那个厂家生产的概率。设事件A表示取到次品，事件B1、B2、B3分别表示取到甲、乙、丙厂家的产品。则有：
$$
P(B1|A) = \frac{P(B1)P(A|B1)}{P(A)}
$$
$$
P(B2|A) = \frac{P(B2)P(A|B2)}{P(A)}
$$
$$
P(B3|A) = \frac{P(B3)P(A|B3)}{P(A)}
$$
其中，$P(A)$已经在步骤1中计算出来。
根据全概率公式，我们可以计算出从产品中任取一件商品，该商品是次品的概率。设事件A表示取到次品，事件B1、B2、B3分别表示取到甲、乙、丙厂家的产品。则有：
$$
P(A) = P(B1)P(A|B1) + P(B2)P(A|B2) + P(B3)P(A|B3)
$$
其中，$P(B1) = 0.35$，$P(B2) = 0.5$，$P(B3) = 0.15$，$P(A|B1) = 0.01$，$P(A|B2) = 0.015$，$P(A|B3) = 0.02$。
步骤 2：计算已知该产品为次品，该产品由那个厂家生产的概率
根据贝叶斯公式，我们可以计算出已知该产品为次品，该产品由那个厂家生产的概率。设事件A表示取到次品，事件B1、B2、B3分别表示取到甲、乙、丙厂家的产品。则有：
$$
P(B1|A) = \frac{P(B1)P(A|B1)}{P(A)}
$$
$$
P(B2|A) = \frac{P(B2)P(A|B2)}{P(A)}
$$
$$
P(B3|A) = \frac{P(B3)P(A|B3)}{P(A)}
$$
其中，$P(A)$已经在步骤1中计算出来。