题目
已知 (cos x)=(sin )^2x, 则 f(x)= __
题目解答
答案
解析
考查要点：本题主要考查函数的变量替换与三角恒等式的应用，需要学生理解函数定义的本质，并能通过代数替换将已知表达式转化为标准形式。
解题核心思路：
- 利用三角恒等式将已知表达式中的$\sin^2 x$转化为关于$\cos x$的表达式。
- 引入中间变量$t = \cos x$，将原函数关系转化为关于$t$的函数$f(t)$。
- 确定定义域：由于$\cos x$的取值范围是$[-1,1]$，因此替换后的变量$t$（即$x$）的取值范围也需限定在此区间。
破题关键点：
- 三角恒等式$\sin^2 x = 1 - \cos^2 x$的灵活应用。
- 变量替换后，明确新变量的定义域与原变量的对应关系。
-
利用三角恒等式转化表达式
已知$f(\cos x) = \sin^2 x$，根据三角恒等式$\sin^2 x = 1 - \cos^2 x$，可得：
$f(\cos x) = 1 - \cos^2 x.$ -
引入中间变量替换
设$t = \cos x$，则原式变为：
$f(t) = 1 - t^2.$ -
确定定义域
由于$\cos x$的取值范围是$[-1,1]$，因此$t$的取值范围为$[-1,1]$。将变量$t$替换回$x$，得到：
$f(x) = 1 - x^2 \quad (x \in [-1,1]).$