题目
10 填空 (10分) 设二阶方阵 (}2&k0&2) 相似于对角阵，则k=（）.
10 填空 (10分) 设二阶方阵 $\left(\begin{matrix}2&k\\0&2\end{matrix}\right)$ 相似于对角阵，则k=（）.
题目解答
答案
矩阵 $ A = \begin{pmatrix} 2 & k \\ 0 & 2 \end{pmatrix} $ 的特征值为二重根 $ \lambda = 2 $。特征方程为：
\[
(\lambda - 2)^2 = 0
\]
对应特征值 $ \lambda = 2 $ 的特征向量满足：
\[
\begin{pmatrix} 0 & -k \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}
\]
化简得 $ -ky = 0 $。
- 当 $ k \neq 0 $ 时，$ y = 0 $，特征向量为 $ \begin{pmatrix} x \\ 0 \end{pmatrix} $，仅一个线性无关解。
- 当 $ k = 0 $ 时，$ y $ 无约束，特征向量为任意二维向量，有两个线性无关解。
为使 $ A $ 相似于对角阵，需有两个线性无关的特征向量，故 $ k = 0 $。
答案：$\boxed{0}$
解析
本题主要考察矩阵相似对角化的条件。矩阵相似于对角阵的充要条件是：矩阵有$n$个线性无关的特征向量（$n$为矩阵阶数）。
步骤1：求矩阵的特征值
给定二阶方阵$A=\begin{pmatrix}2&k\\0&2\end{pmatrix}$，其特征多项式为：
$\det(\lambda E - A) = \begin{vmatrix}\lambda - 2&-k\\0&\lambda - 2\end{vmatrix} = (\lambda - 2)^2$
故特征值为二重根$\lambda=2$。
步骤2：求特征值$\lambda=2$对应的特征向量
对特征值$\lambda=2$，解齐次线性方程组$(2E - A)x = 0$：
$2E - A = \begin{pmatrix}0&-k\\0&0\end{pmatrix}$
方程组化简为$-ky = 0$，分两种情况：
- 若$k \neq 0$，则$y=0$，特征向量为$\begin{pmatrix}x\\0\end{pmatrix}$（$x \neq 0$），仅1个线性无关解；
- 若$k = 0$，则$y$任意，特征向量为$\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}$（$x,y$不全为0），有2个线性无关解。
步骤3：相似对角化的条件
二阶矩阵相似于对角阵需有2个线性无关的特征向量，故仅当$k=0$时满足条件。