为使函数 f(x)= ) (x)^2, xleqslant 1 ax+b, xgt 1 . 在 x=1 处连续且可导,-|||-a,b应取什么值?

考查要点：本题主要考查分段函数在分界点处的连续性和可导性条件。
解题思路：

1. 连续性：函数在$x=1$处连续要求左右极限相等且等于函数值$f(1)$。
2. 可导性：函数在$x=1$处可导要求左右导数相等。
   关键点：

• 连续性条件：左极限$f(1^-)=1^2=1$，右极限$f(1^+)=a \cdot 1 + b$，需满足$a + b = 1$。
• 可导性条件：左导数$f'(1^-)=2 \cdot 1=2$，右导数$f'(1^+)=a$，需满足$a=2$。

步骤1：验证连续性

当$x \leqslant 1$时，$f(x)=x^2$，因此$f(1)=1^2=1$。
当$x > 1$时，$f(x)=ax + b$，当$x$趋近于1时，右极限为$a \cdot 1 + b = a + b$。
连续性条件要求：
$a + b = 1 \quad \text{(1)}$

步骤2：验证可导性

当$x \leqslant 1$时，$f'(x)=2x$，左导数在$x=1$处为$2 \cdot 1 = 2$。
当$x > 1$时，$f'(x)=a$，右导数在$x=1$处为$a$。
可导性条件要求：
$a = 2 \quad \text{(2)}$

步骤3：联立方程求解

将$a=2$代入方程(1)：
$2 + b = 1 \implies b = -1$