6.设幂级数 sum _(n=0)^infty (a)_(n)(x)^n 在 x=2 处收敛,则该级数在 x=-1 处必定 () ;-|||-(A)发散 (B)条件收敛 (C)绝对收敛 (D)敛散性不能确定

考查要点：本题主要考查幂级数的收敛区间与收敛性的关系，特别是已知某点收敛时，如何推断另一点的收敛性。

解题核心思路：

1. 幂级数的收敛区间是以中心点（本题为$x=0$）对称的区间，收敛半径$R$决定该区间的范围。
2. 绝对收敛性：当$|x| < R$时，幂级数绝对收敛；当$|x| > R$时，发散；当$|x|=R$时需单独判断。
3. 关键推论：若幂级数在$x=2$处收敛，则收敛半径$R \geq 2$。因此，$x=-1$对应的$|x|=1 < R$，必在收敛区间内，从而绝对收敛。

步骤1：确定收敛半径范围

已知幂级数$\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n$在$x=2$处收敛，说明收敛半径$R$满足：
$R \geq |2| = 2.$
即收敛区间至少为$(-2, 2)$，可能更大。

步骤2：分析$x=-1$的位置

对于$x=-1$，其绝对值为：
$|-1| = 1.$
由于$1 < R$（因$R \geq 2$），可知$x=-1$位于收敛区间内部。

步骤3：判断收敛性

根据幂级数的性质：

• 在收敛区间内部（$|x| < R$），幂级数绝对收敛。
  因此，$\sum_{n=0}^{\infty} a_n (-1)^n$绝对收敛。