题目
3.判断题(20分)设sum为有向曲面z=x^2+y^2,(0le zle 1)，其法向量与Z轴正向的夹角为锐角，则iint_(sum)(2x+z)dzdx+zdxdy=-(pi)/(2).A 正确.B 错误.
3.判断题(20分)
设$\sum$为有向曲面$z=x^{2}+y^{2},(0\le z\le 1)$，
其法向量与Z轴正向的夹角为锐角，则
$\iint_{\sum}(2x+z)dzdx+zdxdy=-\frac{\pi}{2}.$
A 正确.
B 错误.
题目解答
答案
将曲面 $\Sigma$ 参数化为 $z = x^2 + y^2$，$0 \leq z \leq 1$。
取法向量 $\mathbf{n} = (-2x, -2y, 1)$，与 $z$ 轴正向夹角为锐角。
曲面积分转换为：
\[
\iint_{\Sigma} (2x + z) \, dy \, dz + z \, dx \, dy = \iint_{D_{xy}} \left[ -4x\sqrt{z - y^2} + z \right] \, dy \, dz + \iint_{D_{xy}} z \, dx \, dy
\]
利用对称性，$\iint_{\Sigma} 2x \, dy \, dz = 0$，简化为：
\[
\iint_{\Sigma} z \, dy \, dz + z \, dx \, dy = -\frac{\pi}{2}
\]
答案：$\boxed{A}$。
解析
步骤 1：参数化曲面
将曲面 $\Sigma$ 参数化为 $z = x^2 + y^2$，$0 \leq z \leq 1$。取法向量 $\mathbf{n} = (-2x, -2y, 1)$，与 $z$ 轴正向夹角为锐角。
步骤 2：曲面积分转换
曲面积分转换为： \[ \iint_{\Sigma} (2x + z) \, dy \, dz + z \, dx \, dy = \iint_{D_{xy}} \left[ -4x\sqrt{z - y^2} + z \right] \, dy \, dz + \iint_{D_{xy}} z \, dx \, dy \]
步骤 3：利用对称性简化
利用对称性，$\iint_{\Sigma} 2x \, dy \, dz = 0$，简化为： \[ \iint_{\Sigma} z \, dy \, dz + z \, dx \, dy = -\frac{\pi}{2} \]
将曲面 $\Sigma$ 参数化为 $z = x^2 + y^2$，$0 \leq z \leq 1$。取法向量 $\mathbf{n} = (-2x, -2y, 1)$，与 $z$ 轴正向夹角为锐角。
步骤 2：曲面积分转换
曲面积分转换为： \[ \iint_{\Sigma} (2x + z) \, dy \, dz + z \, dx \, dy = \iint_{D_{xy}} \left[ -4x\sqrt{z - y^2} + z \right] \, dy \, dz + \iint_{D_{xy}} z \, dx \, dy \]
步骤 3：利用对称性简化
利用对称性，$\iint_{\Sigma} 2x \, dy \, dz = 0$，简化为： \[ \iint_{\Sigma} z \, dy \, dz + z \, dx \, dy = -\frac{\pi}{2} \]